Statistique de Poisson composée pour les systèmes dynamiques aléatoires

Compound Poisson distribution for random dynamical systems

• Auteur / Autrice : Lucas Amorim Vilas Boas
• Direction : Sandro Vaienti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 13/12/2023
• Etablissement(s) : Toulon en cotutelle avec Universidade do Porto
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (Marseille ; Toulon ; 2012-....)
• Jury : Président / Présidente : José Ferreira Alves
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ercilia Sousa, Mike Todd, Romain Aimino
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Benoît Saussol, Paulo Varandas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variables aléatoires

Poisson, Siméon-Denis (1781-1840)

Statistiques

Mathématiques

Mots clés libres

Statistiques d'entrée

Statistiques de Poisson composée

Perturbations aléatoires de systèmes dynamiques

Hitting statistics

Compound Poisson distributions

Random dynamical systems

Résumé

Nous obtenons des distributions d’entrée limites quenched dans la classe composée de Poisson pour une certaine famille de systèmes dynamiques aléatoires en utilisant une approximation probabiliste par bloc pour la fonction de comptage d’entrée quenched jusqu’au temps normalisé annealed-Kac. Nous considérons des cibles aléatoires générales avec des statistiques de retour bien définies et des systèmes avec une d’ecroissance polynomiale des corrélations à la fois quenched et annealed. La théorie est rendue opérationnelle grâce à un résultat qui permet de récupérer certaines statistiques d’entrée à partir desdites statistiques de retour, qui sont calculables. Nos exemples incluent une classede systèmes unidimensionnels à expansion aléatoire par morceaux, jetant un nouvel éclairage sur la dichotomie déterministe bien connue entre les points périodiques et apériodiques, leur formule d’indice extrême habituelle EI = 1 – JTp(z), et récupérer le cas géométrique pour les systèmes généraux pilotés par Bernoulli, mais comportement distinct dans le cas contraire. Les enquêtes futures et en cours visent à produire et à prendre en compte des exemples de véritables systèmes aléatoires à expansion non uniforme et de cibles s’approchant de leurs points neutres.

We obtain quenched limiting hitting distributions in the compound Poisson class for a certain family of random dynamical systems using a probabilistic block-approximation for the quenched hit-counting function up to annealed-Kac-normalized time. We consider general random targets with well-defined return statistics and systems with both quenched and annealed polynomial decay of correlations. The theory is made operational due to a result that allows certain hitting statistics to be recovered from the said return statistics, which are computable. Our examples include a class of random piecewise expanding one-dimensional systems, casting new light on the well-known deterministic dichotomy between periodic and aperiodic points, their usual extremal index formula EI = 1 – JTp(z), and recovering the geometric case for general Bernoulli-driven systems, but distinct behavior otherwise. Future and on-going investigations aim to produce and accommodate examples of bonafide non- uniformly expanding random systems and targets approaching their neutral points.