Étude des composantes de stabilité pour les familles holomorphes d'endomorphismes des espaces projectifs complexes

Study of stability components for holomorphic families of endomorphisms of complex projective spaces

• Auteur / Autrice : Maxence Brévard
• Direction : François Berteloot, Fabrizio Bianchi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 04/12/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascale Roesch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Volker Mayer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yûsuke Okuyama, Gabriel Vigny

Mots clés

Mots clés contrôlés

Endomorphismes (théorie des groupes)

Dynamique holomorphe

Géométrie projective

Mots clés libres

Dynamique holomorphe

États d'équilibre

Courant de ramification

Plusieurs variables complexes

Espaces projectifs

Hyperbolicité

Holomorphic dynamics

Equilibrium states

Ramification current

Several complex variables

Projective spaces

Hyperbolicity

Résumé

Dans cette thèse, nous contribuons au développement de la théorie de la stabilité dynamique au sens de Berteloot-Bianchi-Dupont pour les familles holomorphes d'endomorphismes des espaces projectifs complexes. Dans un premier temps, nous établissons une nouvelle caractérisation de la stabilité dynamique portant sur le courant de ramification introduit par Dinh-Sibony en exploitant la théorie du pluripotentiel. Cela nous permet à la fois de simplifier l'approche originale et de mieux comprendre la stabilité dynamique en termes de normalité post-critique. Dans un deuxième temps, nous étudions la propagation de certaines propriétés statistiques au sein d'une famille stable. En particulier, nous utilisons la notion de v-tissu de Bianchi-Rakhimov pour propager les états d'équilibre, qui constituent une classe importante de mesures ergodiques apparaissant dans le formalisme thermodynamique. Nous établissons également un résultat d'équidistribution des cycles répulsifs avec poids pour les v-tissus dans l'espace des graphes. Dans un troisième temps, nous nous intéressons à la dynamique aléatoire des applications d'allure polynomiale. Nous construisons les mesures stationnaires introduites pour les endomorphismes par Fornaess-Weickert. Nous démontrons ensuite l'existence d'un courant positif fermé horizontal dont les tranches sont exactement les mesures stationnaires. La construction de ce type de courants est l'une des premières étapes pour attaquer des questions de stabilité dynamique dans ce contexte.

In this thesis, we contribute to the development of the theory of dynamical stability in the sense of Berteloot-Bianchi-Dupont for holomorphic families of endomorphisms of complex projective spaces. First, we establish a new characterisation of dynamical stability concerning the ramification current introduced by Dinh-Sibony by exploiting pluripotential theory. This allows us both to simplify the original approach and to better understand dynamical stability in terms of post-critical normality. Secondly, we study the propagation of some statistical properties within a stable family. In particular, we use the notion of v-web of Bianchi-Rakhimov to propagate the equilibrium states, which are an important class of ergodic measures appearing in the thermodynamical formalism. We also establish a weighted equidistribution result of repelling cycles for v-webs in the space of graphs. In a third step, we focus on the random dynamics of polynomial-like maps. We construct the stationary measures introduced for endomorphisms by Fornaess-Weickert. We then build a horizontal closed positive current whose slices are exactly the stationary measures. The construction of this type of current is one of the first steps in tackling questions of dynamical stability in this context.