Exemples de courants harmoniques feuilletés et Levi-plats sur le plan projectif complexe

Examples of foliated harmonic currents and levi-flats on the complex projective plane

• Auteur / Autrice : Mohamad Alkateeb
• Direction : Julio Rebelo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 11/12/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascale Roesch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julio Rebelo, Viêt-Anh Nguyên, Rogério Mol, Séverine Biard, John Erik Fornaess
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Viêt-Anh Nguyên, Rogério Mol

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes fuchsiens

Riccati, Équation de

Algèbre des courants

Mots clés libres

Courants feuilletés

Courants harmoniques

Courants fermés

Equations de Riccati

Groupes Fuchsiens

Levi-plats

Closed currents

Foliated currents

Fuchsian groups

Harmonic currents

Levi-flats

Riccati equations

Résumé

Nous donnons des exemples de feuilletages sur le plan projectif complexe CP² admettant des courants harmoniques feuilletés positifs dont les supports coïncident avec des Levi-plats singuliers qui, à leur tour, peuvent être choisis comme réels analytiques (mais non algébriques) ou simplement continus avec nature transversale fractale. De plus, des exemples non triviaux (comme ci-dessus) peuvent déjà être trouvés parmi les feuilletages de degré 2 et 3. De plus, l'espace des courants harmoniques feuilletés positifs pour ces feuilletages est entièrement caractérisé et il contient un unique courant harmonique (non fermé) dont le support est sur le Levi-plat en question. Enfin, nous donnons également des exemples de feuilletages porteurs de courants fermés feuilletés positifs diffus liés à un théorème dû à Brunella ainsi qu'un critère général pour l'existence de Levi-plats analytiques réels singuliers pour les feuilletages de Riccati.

We provide examples of foliations on the complex projective plane CP² carrying positive foliated harmonic currents whose supports coincide with singular Levi-flats which, in turn, can be chosen real-analytic (but non-algebraic) or merely continuous with fractal transverse nature. Furthermore, non-trivial examples (as above) can already be found among foliations of degree 2 and 3. In addition, the space of positive foliated harmonic currents for these foliations is fully characterised and it contains a unique harmonic (non-closed) current supported on the Levi-flat in question. Finally, we also provide examples of foliations carrying diffuse positive foliated closed currents related to a theorem due to Brunella as well as a general criterion for the existence of singular real analytic Levi-flats for Riccati foliations.