Approche sur grilles parcimonieuses pour accélérer la méthode Particle-In-Cell

Sparse approach to accelerate Particle-In-Cell method in 3D

• Auteur / Autrice : Clément Guillet
• Direction : Laurent Garrigues, Fabrice Deluzet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Ingénierie des PLASMAS
• Date : Soutenance le 28/06/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Génie électrique, électronique, télécommunications et santé : du système au nanosystème (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Garrigues, Fabrice Deluzet, Raphaël Loubère, Nicolas Crouseilles, Charles Frédérique, Pierre Jolivet, Anne Bourdon
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Raphaël Loubère, Nicolas Crouseilles

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes particulaires (analyse numérique)

Plasmas (gaz ionisés)

Mots clés libres

Analyse numérique

Physique des plasmas

Calcul scientifique

Numerical analysis

Plasma

Computational mathematics

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des méthodes PIC avec reconstructions sur grilles parcimonieuses. Ces méthodes permettent de réduire significativement les coûts en mémoire et les coûts de calcul des méthodes PIC. En effet, malgré leur simplicité, leur facilité de parallélisation sur plusieurs nœuds de calcul et leur robustesse, les schémas PIC présentent un inconvénient majeur, à savoir l'erreur statistique associée au bruit des particules, qui dépend du nombre moyen de particules par cellule et conduit à une complexité qui croît exponentiellement avec la dimension du problème. L'utilisation de grilles textit{sparse} dans les méthodes PIC, par le biais de la technique dite de combinaison où une fonction est approximée sur différentes grilles plus grossières, permet de réduire le bruit des particules, grâce aux cellules plus grandes des grilles, et donc de réduire les temps d'exécution élevés de la simulation. Dans le chapitre 2, des résultats principaux sont fournis sur la convergence de l'interpolant textit{sparse grid} en fonction de la discrétisation en espace et sur les propriétés de conservation de la méthode. En outre, des reconstructions textit{sparse grid} adaptées, dans le cadre de la technique de combinaison textit{offset}, sont proposées pour introduire des méthodes PIC avec une efficacité améliorée. Le chapitre 3 est consacrée à l'introduction de nouvelles stratégies de parallélisation spécifiques aux architectures à mémoire partagée et adaptées aux méthodes PIC implémentant des reconstructions de grilles parcimonieuses. Ces stratégies exploitent les différents parallélismes propres aux méthodes Sparse-PIC afin d'obtenir une une augmentation de vitesse supérieure à 100 sur 128 cœurs. En outre, des gains substantiels (deux ordres de grandeur) sont introduits pour les calculs séquentiels et parallèles du champ électrique grâce à la procédure de hiérarchisation. Elle consiste à décomposer l'information portée par les grilles parcimonieuses sur des fonctions de base hiérarchiques, ce qui permet de réduire considérablement le nombre d'opérations. Le chapitre 4 propose une mise en œuvre efficace des méthodes PIC pour GPU. La parallélisation, qui met en œuvre de nouvelles stratégies spécifiques aux méthodes PIC sparse et adaptées aux architectures GPU, permet d'obtenir des gains de vitesse par rapport à une exécution séquentielle sur un processeur de la même génération que le GPU. Ces gains de vitesse peuvent atteindre 100 sur un seul GPU Tesla V100, par rapport à une exécution séquentielle sur une unité de traitement informatique (CPU) ; et une réduction de quatre ordres de grandeur du temps de calcul par rapport à une simulation PIC séquentielle standard sur un CPU. Enfin le chapitre 5 concerne des travaux en cours et propose un nouveau schéma semi-implicite conservant l'énergie basé sur une discrétisation électrostatique Particle-In-Cell (PIC) du système Vlasov-Ampère (VA). La méthode est inspirée de la méthode semi-implicite de Lapenta (ECSIM). La nouveauté est la dérivation d'une approche électrostatique semi-implicite multidimensionnelle d'une formulation de Vlasov-Ampère, intégrant des techniques de reconstruction sur grilles parcimonieuses. L'objectif étant d'une part de bénéficier des avantages de la méthode de Lapenta, textit{i.e} conservation exacte de l'énergie pour n'importe quel pas de temps ou discrétisation de grille ; élimination l'instabilité de grille finie; etc. D'autre part, les reconstructions textit{sparse grid} permettent de réduire considérablement l'empreinte mémoire en diminuant drastiquement le nombre de particules pour une erreur statistique équivalente.

This thesis deals with the study of PIC methods with reconstructions on parsimonious grids. These methods allow to significantly reduce the memory and computational costs of PIC methods. Indeed, despite their simplicity, their ease of parallelization on several computational nodes and their robustness PIC schemes have a major drawback, namely the statistical error associated with the particle noise, which depends on the average number of particles per cell and leads to a complexity that grows exponentially with the dimension of the problem. The use of textit{sparse} grids in PIC methods, through the so-called combination technique where a function is approximated on different coarser grids, allows to reduce the particle noise, thanks to the larger cells of the grids, and thus to reduce the high execution times of the simulation. In Chapter 2, main results are provided on the convergence of the interpolant textit{sparse grid} as a function of the discretization in space and on the conservation properties of the method. In addition, adapted textit{sparse grid} reconstructions under the textit{offset} combination technique are proposed to introduce PIC methods with improved efficiency. Chapter 3 is devoted to the introduction of new new parallelization strategies specific to shared memory architectures and adapted to PIC methods implementing sparse grid reconstructions. These strategies exploit the different parallelisms specific to Sparse-PIC methods in order to obtain a speedup greater than 100 on 128 cores. In addition, substantial gains (two orders of magnitude) are introduced for sequential and parallel electric field computations thanks to the prioritization procedure. It consists in decomposing the information carried by the sparse grids on hierarchical basis functions, which allows to reduce considerably the number of operations. Chapter 4 proposes an efficient implementation of PIC methods for GPUs. Parallelization, which implements new strategies specific to sparse PIC methods and tailored to GPU architectures, yields speedup gains over sequential execution on a processor of the same generation as the GPU. These speed gains can reach 100 on a single Tesla V100 GPU, compared to a sequential execution on a computer processing unit (CPU); and a reduction of four orders of magnitude in computation time compared to a standard sequential PIC simulation on a CPU. Finally, chapter 5 concerns work in progress and proposes a new semi-implicit energy conserving scheme based on a Particle-In-Cell (PIC) electrostatic discretization of the Vlasov-Ampere (VA) system. The method is inspired by the semi-implicit method of Lapenta (ECSIM). The novelty is the derivation of a multidimensional semi-implicit electrostatic approach of a Vlasov-Ampere formulation, integrating sparse grid reconstruction techniques. The objective is to benefit from the advantages of the Lapenta method, i.e. exact energy conservation for any time step or grid discretization; elimination of finite grid instability; etc. On the other hand, the reconstructions textit{sparse grid} allow to considerably reduce the memory footprint by drastically decreasing the number of particles for an equivalent statistical error.