Etude des variétés d'Einstein asymptotiquement hyperboliques

Studies of asymptotically hyperbolic Einstein's manifold

• Auteur / Autrice : Paul Fraux
• Direction : Yuxin Ge
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 09/06/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascale Roesch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yuxin Ge, Romain Gicquaud, Dong Ye
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Romain Gicquaud, Dong Ye

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hyperboliques

Dirichlet, Problème de

Einstein, Variétés d'

Mots clés libres

Variété hyperbolique

Métrique d'Einstein

Infini conforme

Courbure de Weyl

Compacité

Problème de Dirichlet

Hyperbolic manifold

Einstein metric

Conformal infinity

Weyl curvature

Compactness

Dirichlet problem

Résumé

Cette thèse consiste à comprendre le problème de Dirichlet à l'infini d'une variété Einstein asymptotiquement hyperbolique, c'est-à-dire explorer le lien entre une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique et la donnée de la classe conforme de la métrique au bord conforme. Le résultat principal de cette thèse consiste à chercher la régularité d'une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique, étant donné une régularité explicite de la classe conforme à l'infini. D'autres résultats sont sur des invariants conformes, ainsi qu'une étude poussée d'une famille explicite de métriques d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4. Après un rappel du cadre dans lequel on se place, on s'intéresse à trois invariants conformes de la théorie, l'invariant de Yamabe de l'infini conforme, l'invariant de Yamabe-Escobar, et le volume renormalisé développé par Graham. Motivé par un résultat de Lee, Han-Gursky et Chen-Lai-Wang, annoncent que pour une métrique asymptotiquement hyperbolique Einstein, si l'invariant de Yamabe de l'infinie conforme est positif, alors il en est de même pour les invariants de Yamabe-Escobar de la compactification. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'inverse. En ajoutant la condition de positivité du volume renormalisé, on montre qu'en dimension 4 la positivité de l'invariant de Yamabe-Escobar implique la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme. Pour cela, on utilise un résultat dû à Anderson qui énonce qu'en dimension 4, le volume renormalisé est relié à l'invariant topologique-le charactéristique d'Euler à travers de la formule de Gauss-Bonnet-Chern. Ensuite, on étudie le problème de la régularité. Pour une métrique asymptotiquement hyperbolique Einstein, est-ce que la régularité de l'infini conforme entraine celle de sa compactification? D'abord on étudie la régularité du tenseur de Weyl. Et puis à l'aide tenseur de Bach, on obtient la régularité de la courbure de Ricci Ceci permet d'obtenir la régularité de la métrique. On se rappelle que le tenseur de Weyl est invariant conforme local. En utilisant l'équation de Bochner satisfaite par le tenseur de Weyl pour une métrique d'Einstein, on se ramène à étudier un opérateur elliptique sur les sections d'un fibré de tenseurs (3,1). Cette étude s'inscrit dans un cadre plus général des opérateurs elliptiques géométriques sur les fibrés géométriques à poids développés par Lee. A l'aide des espaces de Hölder à poids, on trouve des estimations à priori pour ces opérateurs. En construisant une solution approchée régulière pour le tenseur de Weyl par des condition au bord, on démontre le théorème de régularité sur la métrique compactifiée. Pedersen définit une famille à un paramètre de métriques d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4 ayant comme l'infini conforme-- les sphères de Berger. Dans la thèse, on étudie le signe de l'invariant de Yamabe du bord, le signe de celui de Yamabe-Escobar et du volume renormalisé pour ces métriques. Une étude des signes relatifs de ces divers invariants en fonction du paramètre a été motivée à la recherche de la réciproque partielle de la première section. En fait, la conjecture initiale était de montrer que la positivité du volume renormalisé suffit à prouver la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme.

This thesis aims to study the Dirichlet problem for asymptotically hyperbolic Einstein manifolds. We will look after links between the asymptotically hyperbolic Einstein metric and its conformal class on the infinity. The main result of this thesis is regularity result for asymptotically hyperbolic Einstein metric (for short AHE) : given an explicit regularity of a metric in the conformal class at infinity, we try to prove the regularity of compactified metric of AHE, we study also some conformal invariants, as well as an extended study of an explicit family of AHE metrics. After a reminder of the framework, we focus on three conformal invariants: the Yamabe invariant on the conformal infinity; the Yamabe-Escobar invariants; and the renormalized volume developed by Graham. With the help of a well known result due to Lee, Han-Gursky and Chen-Lai-Wang, state for an AHE metric, if the Yamabe invariant of the conformal infinity is positive, then so are the Yamabe-Escobar invariants. In this thesis, we study the reciprocal property. By adding the positivity condition of the renormalized volume, we obtain in dimension 4 that the positivity of the Yamabe-Escobar invariant implies the positivity of the Yamabe invariant of the conformal infinity. For this we use a result due to Anderson, which states that in dimension 4 the renormalized volume is related to the topological invariant--Euler characteristic, by the Gauss-Bonnet-Chern's formula We then the regularity problem. A natural question is how can we improve the regularity of a compactified metric for AHE metric, once we know an explicit bound on the regularity of the boundary metric. For this purpose, we study first the regularity of the Weyl tensor. Then, we obtain the regularity of the Ricci curvature by using the Bach flat condition. At the end, we imply the regularity of the metric. To study the regularity of the Weyl tensor of the compacted metric, we use the Bochner equation satisfied by Einstein metric. Hence, we study an elliptic operator on the sections of a (3,1)-tensor bundle. This study is included in the general framework of geometric elliptic operators on weighted geometric bundle developed by Lee. We obtain, in weighted Hölder spaces,the suitable the estimates a priori for these operators. Then by constructing a smooth approximated metric, we manage to prove a regularity theorem on the compacted metric. Pedersen defines a one-parameter family of AHE metrics on the ball of dimension 4 having as conformal infinity the Berger spheres. We compute in the thesis the sign of the Yamabe invariant of the boundary, the sign of the Yamabe-Escobar invariant and the renormalized volume for this family. A study of the relative signs of these various invariants as a function of the parameter was motivated by the study of the reciprocal in the first part. A natural conjecture is to show that the positivity of the renormalized volume suffices to prove the positivity of the Yamabe invariant of the conformal infinity.