Méthodes numériques basées sur l'apprentissage pour les EDP hyperboliques et cinétiques

Numerical methods based on machine learning for hyperbolic and kinetic PDEs

• Auteur / Autrice : Léo Bois
• Direction : Philippe Helluy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/12/2023
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Després
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Virginie Grandgirard, Emmanuel Franck, Vincent Vigon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphane Clain, Nicolas Crouseilles

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réseaux neuronaux (informatique)

Apprentissage automatique

Mots clés libres

Apprentissage machine

Réseaux de neurones

Physique différentiable

Machine learning

Neural networks

Differentiable physics

Résumé

On explore différentes applications des réseaux de neurones pour les méthodes numériques, dans le contexte de la simulation de fluides ou de plasmas.Une première application est l'apprentissage d'une fermeture pour un modèle macroscopique, à partir de données issues d'un modèle cinétique. On donne des résultats numériques pour l'équation de Vlasov-Poisson en 1D et l'équation de Boltzmann en 2D.Une deuxième application est l'apprentissage de paramètres dépendants du problème considéré dans les schémas numériques. On apprend ainsi un coefficient de viscosité artificielle pour un schéma de Galerkin discontinu, et une matrice de relaxation pour la méthode de Lattice-Boltzmann.

Different applications of neural networks for numerical methods are explored, in the context of fluid or plasma simulation.A first application is the learning of a closure for a macroscopic model, based on data from a kinetic model. Numerical results are given for the Vlasov-Poisson equation in 1D and the Boltzmann equation in 2D.A second application is the learning of problem-dependent parameters in numerical schemes. In this way, an artificial viscosity coefficient is learned for a discontinuous Galerkin scheme, and a relaxation matrix for the Lattice-Boltzmann method.