Partial abelianization of GLn-local systems and non-commutative A-coordinates

Abélianisation partielle des GLn-systèmes locaux et coordonnées A non-commutatives

• Auteur / Autrice : Clarence Kineider
• Direction : Olivier Guichard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/12/2023
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Vladimir Fock
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elisha Falbel, Anna Katharina Wienhard
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Daniele Alessandrini, Antonin Guilloux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres non commutatives

Variétés (mathématiques)

Mots clés libres

Systèmes locaux encadrés

Systèmes locaux décorés

Réseaux spectraux

Abélianisation

Framed local systems

Decorated local systems

Spectral networks

Abelianization

Résumé

Dans cette thèse, nous avons pour objectif d'étudier les espaces de modules des G-systèmes locaux sur une surface ciliée S pour divers groupes de Lie G. Nous généralisons une construction de Gaiotto-Moore-Neitzke appelée « abélianisation », permettant que cette procédure soit réalisée de manière « partielle ». Le résultat de cette procédure généralisée nous permet de décrire la topologie de sous-espaces ouverts denses à dans l'espace de modules des GL_2n-systèmes locaux, et en collaboration avec Eugen Rogozinnikov, nousavons étendu davantage la procédure d'abélianisation aux systèmes locaux symplectiques, nous permettant de décrire la topologie des sous-espaces ouverts denses à l'intérieur de l'espace de modules des systèmes locaux symplectiques. En particulier, nous décrivons la topologie de l'ensemble des représentations maximales d'un groupe de surface percée dans un groupe symplectique Sp(A, s) sur une algèbre symétrique (A, s).Étant donné les liens étroits entre la construction originale de Gaiotto-Moore-Neitzke et les coordonnées de cluster de Fock-Goncharov, un autre avantage de la construction d'abélianisation généralisée est qu'elle nous aide à définir et étudier une généralisation non-commutative des coordonnées A de Fock-Goncharov. Lorsque G = GL_2n(R), nous montrons que ces coordonnées A non commutatives définissent une représentation de l'algèbre non commutative A_S introduite par Berenstein-Retakh. Ces coordonnées A non commutatives se restreignent également à des coordonnées non commutatives sur l'espace des représentations symplectiques avec un encadrement lagrangien.

In this thesis, we aim to study moduli spaces of G-local systems over a ciliated surface S for various Lie groups G. We generalize a construction of Gaiotto-Moore-Neitzke called abelianization, allowing this procedure to be conducted ''partially''. The result of this generalized procedure allow us to describe the topology of open dense subspaces inside the moduli space of GL_2n-local systems, and together with Eugen Rogozinnikov we extended further the abelianization procedure to symplectic local systems, allowing us to describe the topology of open dense subspaces inside the moduli space of symplectic local systems. In particular, we describe the topology of the set of maximal representations of a punctured surface group into a symplectic group Sp(A,s) over a symmetric algebra (A,s). Given the strong relations between the original construction by Gaiotto-Moore-Neitzke andFock-Goncharov cluster coordinates, another benefit of the generalized abelianization construction is that it help us define and study a non-commutative generalization of Fock-Goncharov A-coordinates. When G = GL_2n(R), we show that these non-commutative A-coordinates define a representation of the non-commutative algebra A_S introduced by Berenstein-Retakh. These non-commutative A-coordinates also restrict to non-commutative coordinates on the space of symplectic representations with lagrangian framing