Méthodes stochastiques en convexité

Stochastic methods in convexity

• Auteur / Autrice : Pierre Bizeul
• Direction : Dario Cordero-Erausquin, Joseph Lehec
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/09/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Bodineau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Omer Friedland
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sergei Bobkov, Arnaud Guillin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse fonctionnelle

Entropie

Probabilités

Ensembles convexes

Processus stochastiques

Mots clés libres

Convexité

KLS

Log-concavité

Convexity

KLS

Log-concavity

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le cadre des probabilités en grande dimension, en particulier sous hypothèse de convexité. Dans une première partie, on étudie le comportement des l'entropie et de l'information de Fisher vis à vis des convolutions de vecteurs log-concave. Ensuite, à l'aide de la localisation stochastique, une technique récente qui a notamment servi à la quasi résolution de la conjecture KLS, nous établissons des résultats nouveaux sur la fonction de concentration des mesures log-concave, et leur constante de log-sobolev. La dernière partie est consacrée à l'étude de grands systèmes linéaires aléatoires pour lesquels un phénomène de type cut-off est démontré.

This thesis deals with high-dimensionnal phenomena arising under convexity assumptions. In a first part, we study the behavior of the entropy and information with respect to convolutions of log-concave vectors. Then, using stochastic localization, a very recent technique which led to an almost resolution of the KLS conjecture, we establish new results regarding the concentration fucntion of log-concave probabilities, and their log-Sobolev constant. Finally, the last chapter is devoted to the study of large random linear systems, for which a cut-off phenomenon is established.