Thèse soutenue

Champs gaussiens hiérarchiques et mesures de Gibbs

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Auteur / Autrice : Benjamin Bonnefont
Direction : Olivier Zindy
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 14/12/2023
Etablissement(s) : Sorbonne université
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
Jury : Président / Présidente : Thomas Duquesne
Examinateurs / Examinatrices : Quentin Berger, Bernard Derrida, Vincent Vargas, Michel Pain, Béatrice de Tilière
Rapporteurs / Rapporteuses : Anton Bovier, Yueyun Hu

Résumé

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Ce travail est consacré à l’étude des processus branchants gaussiens et leur lien avec une classe de modèles en physique statistique appelés champs gaussiens hiérarchiques. Le premier chapitre est dédié à l’étude de l’overlap à deux températures lorsque les énergies sont données par les positions des particules d’un mouvement brownien branchant. On montre notamment que l’overlap à deux températures surcritiques diffère du cas indépendant (Random Energy Model) - différence que l’on n’observe pas à une seule température - en établissant une inégalité stricte entre leurs valeurs moyennes. Le deuxième chapitre est issu d’un travail en commun avec Michel Pain et Olivier Zindy. Nous poursuivons l’étude des effets des processus de décoration sur l’overlap à deux températures dans l’esprit de Derrida et Mottishaw et sur la susceptibilité en température telle qu’elle est définie par Fisher et Huse. Nous montrons qu’au voisinage de la température critique, l’overlap moyen a un comportement plus régulier que son homologue indépendant. Nous établissons également des estimées fines concernant le comportement de la susceptibilité au voisinage de la température critique. Le dernier chapitre présente un travail avec Vincent Vargas qui concerne la martingale dérivée sous-critique de la marche aléatoire branchante binaire et gaussienne et dans lequel nous répondons à une conjecture de Lacoin, Rhodes et Vargas dans le cadre particulier d’un champ gaussien hiérarchique. Nous obtenons des estimées précises sur la queue à gauche de la distribution dans la phase dite L4.