Limites d’échelle de marches branchantes critiques à valeurs dans des arbres, et du nombre de Horton-Strahler d’arbres de Galton-Watson

Scaling limits of tree-valued critical branching random walks, and of the Horton-Strahler number of Galton-Watson trees

• Auteur / Autrice : Robin Khanfir
• Direction : Thomas Duquesne, Shen Lin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/11/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Curien
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yueyun Hu, Nicolas Broutin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christina Goldschmidt, Jean-François Delmas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes)

Probabilités

Graphes aléatoires

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Marche branchante

Limite d'échelle

Nombre de Horton-Strahler

Marche aléatoire sur un arbre

Cactus brownien

Arbre réel aléatoire

Branching random walk

Scaling limit

Horton-Strahler number

Random walk on a tree

Brownian cactus

Random real tree

Résumé

Dans cette thèse, on étudie des phénomènes discrets de branchement aléatoire et on cherche à les mettre en relation avec des structures métriques fractales continues. Les arbres de Galton-Watson, qui décrivent l’histoire généalogique d’une population asexuée dont les individus se reproduisent sous la même loi et indépendamment les uns des autres, constituent notre modèle principal. Dans un premier temps, on se consacre à l’étude d’une marche aléatoire (dite biaisée critique) sur un arbre infini (appelé l’environnement) et indexée par un arbre de Galton-Watson critique conditionné à être grand (appelé la généalogie). On suppose que la loi de reproduction de la généalogie est dans le domaine d’attraction d’une loi stable d’indice α ∈ (1, 2]. On traite d’une part du cas où l’environnement est un arbre régulier enraciné, et d’autre part du cas où il s’agit d’un arbre de Galton-Watson sur-critique modifié de façon à être de profondeur infinie. Sous une certaine hypothèse de moments pour l’environnement, on montre que le nombre de points visités par la marche croît linéairement, et à vitesse déterministe, en fonction de la taille de la généalogie lorsque cette dernière tend vers l’infini. En outre, on prouve que le sous-arbre des points visités par la marche branchante admet une limite d’échelle. Auparavant introduit dans le contexte de l’étude des cartes planaires aléatoire, cet espace métrique limite est le cactus brownien (réfléchi) avec mécanisme de branchement α-stable. La comparaison de cette étude nouvelle avec les travaux antérieurs sur les marches aléatoires indexées par le temps ou à valeurs dans un réseau euclidien illustre l’influence des branchements de la généalogie et de l’environnement. Dans un second temps, on s’intéresse à la complexité de branchement des arbres de Galton-Watson en étudiant leurs nombres de Horton-Strahler. Cet outil combinatoire, aussi appelé fonction de registre, a été originellement introduit en hydrogéologie mais a été redécouvert et appliqué par de nombreuses autres disciplines scientifiques par la suite. Ici, on donne un équivalent asymptotique déterministe du nombre de Horton-Strahler d’un arbre de Galton-Watson critique conditionné par la taille et dont la loi de reproduction est dans le domaine d’attraction d’une loi stable d’indice α ∈ [1, 2]. Cette estimation ne dépend que de α lorsque α ̸= 1, mais les cas α = 1 sont modèle- dépendants et sujets à des comportements plus complexes. On examine ensuite les fluctuations du nombre de Horton-Strahler chez la famille spécifique des arbres de Galton-Watson stables, qui contient l’arbre de Galton-Watson critique binaire. On est alors amené à introduire une variante continue du nombre de Horton-Strahler, et on montre que celle-ci converge après recentrage vers une caractéristique métrique de la limite d’échelle des arbres. On étudie les propriétés de cette quantité nouvelle qui joue le rôle d’un analogue du nombre de Horton-Strahler pour les arbres continus.

In this thesis, we study discrete random branching phenomena and seek to relate them to continuum fractal metric structures. Galton-Watson trees, which describe the genealogical history of an asexual population whose individuals reproduce under the same law and independently of each other, are our main model. In the first part, we focus on the study of a random walk (said critical biased) on an infinite tree (called the environment) and indexed by a critical Galton-Watson tree conditioned to be large (called the genealogy). The offspring distribution of the genealogy is assumed to be in the domain of attraction of a stable law of index α ∈ (1, 2]. We both consider the case where the environment is a regular rooted tree and the case where it is a supercritical Galton-Watson tree modified to have an infinite depth. Under some hypothesis of moments for the environment, we show that the number of points visited by the random walk grows linearly, and at a deterministic speed, with respect to the size of the genealogy when the latter tends to infinity. Furthermore, we prove that the subtree of points visited by the branching random walk admits a scaling limit. Previously introduced in the context of the study of random planar maps, this limit metric space is the (reflected) Brownian cactus with α-stable branching mechanism. Comparison of this new study with earlier work about random walks indexed by a linear time or taking values in a Euclidean lattice illustrates the influence of the branching nature of the genealogy and the environment. In the second part, we study the branching complexity of Galton-Watson trees by considering their Horton-Strahler numbers. This combinatorial tool, also known as the register function, was originally introduced in hydrogeology but was subsequently rediscovered and applied by many other scientific disciplines. Here, we give a deterministic asymptotic equivalent of the Horton- Strahler number of a size-conditioned critical Galton-Watson tree whose offspring distribution is in the domain of attraction of a stable law of index α ∈ [1, 2]. This estimate depends only on α when α ̸= 1, but the α = 1 cases are model-dependent and subject to more complex behaviors. We then examine the fluctuations of the Horton-Strahler number for the specific family of stable Galton-Watson trees, which contains the binary critical Galton-Watson tree. To do so, we introduce a continuous variant of the Horton-Strahler number that converges after recentering towards a metric characteristic of the scaling limit of the trees. We study the properties of this new quantity, which acts as a continuum analog of the Horton-Strahler number.