Limite de diffusion fractionnaire et problème de persistance

Fractional diffusion limit and persistence problems

• Auteur / Autrice : Loïc Bethencourt
• Direction : Nicolas Fournier, Camille Tardif
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/10/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Eva Löcherbach
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Profeta, Marjolaine Puel, Thomas Duquesne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Bertoin, Tomasz Komorowski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variables aléatoires

Fokker-Planck, Équation de

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Markov, Processus de

Mots clés libres

Diffusion fractionnaire

Modèles cinétiques

Processus stables

Problème de persistance

Fonctionnelles de processus de Markov

Fractional diffusion

Kinetic models

Stable processes

Persistence problems

Functionals of Markov processes

Résumé

Les travaux de cette thèse portent sur l’étude asymptotique de certaines fonctionnelles de processus de Markov. Plus précisément, on s’intéresse à deux types de problèmes : (i) établir des limites d’échelles et (ii) étudier asymptotiquement des probabilités de persistance, encore appelées probabilités de survie. Ce travail est divisé en cinq parties. Dans un premier temps, nous établissons un théorème central limite α-stable pour des fonctionnelles additives de diffusions unidimensionnelles. Le cas des fluctuations gaussiennes est un problème classique et de nombreux résultats existent à ce sujet. Mais de manière surprenante, très peu de résultats concernent les limites d’échelles α-stable, pour α ∈ (0, 2). Ces travaux généralisent les méthodes et résultats de Fournier-Tardif [FT21] qui traitent d’un cas spécifique. Dans un second travail en commun avec Quentin Berger et Camille Tardif, nous nous intéressons au problème de persistance pour des fonctionnelles additives de processus de Markov, i.e. nous caractérisons asymptotiquement la probabilité que cette fonctionnelle reste en dessous d’un certain niveau jusqu’au temps t. Divers résultats y sont établis. Lorsque le processus de Markov sous-jacent est récurrent positif, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que la probabilité de persistance soit à variations régulières. Lorsque le processus est récurrent nul, il nous faut des hypothèses supplémentaires pour établir le comportement asymptotique. Ces hypothèses étant un peu abstraites, nous les simplifions ensuite pour une sous-classe de processus appelés diffusions généralisées. Ceci nous amène dans une dernière partie à établir l’asymptotique de la queue de probabilité du temps de retour en zéro de la fonctionnelle, ce qui nous permet de construire la fonctionnelle additive conditionnée à rester négative. Dans un troisième temps, nous étudions la limite d’échelle d’un modèle cinétique de Fokker- Planck avec conditions de bord diffusives. Plus précisément, on considère une particule qui vit dans R + dont la vitesse est une diffusion récurrente positive ayant une mesure invariante à queues lourdes lorsque la particule est strictement positive. Quand la particule touche la frontière x = 0, elle en ressort instantanément avec une vitesse strictement positive tirée aléatoirement selon une mesure de probabilité sur (0, ∞). Lorsque la particule n’est pas réfléchie, il a été montré par Fournier-Tardif [FT21] que dans un certain régime, la limite d’échelle de la particule est un processus α-stable symétrique. Nous montrons que pour la particule réfléchie, la limite d’échelle est un processus α-stable réfléchi sur son infimum. Dans un quatrième travail en commun avec Quentin Berger, nous revisitons le théorème de Sparre Andersen pour des variables aléatoires échangeables et invariantes par signe. Nous utilisons ensuite ce résultat pour obtenir des bornes sur des probabilités de persistance de certaines chaînes de Markov intégrées. Enfin, dans une dernière partie, nous revisitons les résultats du Chapitre 1 concernant les limites d’échelles de fonctionnelles additives en utilisant les outils introduits dans les Chapitres 2 et 3. Nous obtenons des résultats de tension et nous identifions partiellement les lois limites. Nous étudions aussi les limites d’échelles lorsque la diffusion sous-jacente est récurrente nulle.

This work is devoted to the asymptotic study of some functionals of Markov processes. More precisely, we are interested in two types of problems: (i) the establishment of scaling limits and (ii) the asymptotic study of persistence probabilities, also known as survival probabilities. This work is divided into five parts. In a first part, we establish an α-stable central limit theorem for additive functionals of one-dimensional diffusions. The case of Gaussian fluctuations is a classical problem, and many results exist on the subject. But surprisingly few results concern the case of α-stable fluctuations, for α ∈ (0, 2). This work generalizes methods and results from Fournier-Tardif [FT21], which deal with a specific case. In a second joint work with Quentin Berger and Camille Tardif, we address the problem of persistence for additive functionals of Markov processes, i.e. we asymptotically characterize the probability for this functional to remain below a certain level up until time t. Various results are established. When the underlying Markov process is positive recurrent, we give a necessary and sufficient condition for the probability of persistence to be regularly varying. When the process is null recurrent, we need additional assumptions to establish the asymptotic behavior. As these assumptions are somewhat abstract, we then simplify them for a subclass of processes called generalized diffusions. This finally leads us to establish the asymptotics of the probability tail of the first return time to zero of the functional, enabling us to construct the additive functional conditioned to stay negative. In a third part, we study the scaling limit of a kinetic Fokker-Planck model with diffusive boundary conditions. More precisely, we consider a particle living in R + , whose velocity is a positive recurrent diffusion with heavy-tailed invariant distribution when the particle lives in (0, ∞). When it hits the boundary x = 0, the particle restarts with a strictly positive random velocity, according to some probability measure on (0, ∞). When the particle is not reflected, it was shown by Fournier-Tardif that in a certain regime, the scaling limit of the particle is a symmetric α-stable process. We show that when the particle is reflected diffusively, the scaling limit is a stable process reflected on its infimum. In a fourth joint work with Quentin Berger, we revisit the famous result of Sparre Andersen for exchangeable and sign-invariant random variables. We then apply this result to obtain bounds on the perstistence probabilities of certain integrated Markov chains. Finally, in a last part, we revisit the results of Chapter 2 concerning scaling limits of additive functionals using the tools introduced in Chapters 3 and 4. We obtain tightness results and we partly identify the limiting laws. We also deal with the case when the underlying diffusion is null recurrent.