Analyse numérique d'équations dispersives oscillatoires à faible régularité

Numerical analysis of oscillatory dispersive equations at low regularity

• Auteur / Autrice : María Cabrera Calvo
• Direction : Katharina Schratz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/03/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Gloria
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Brynjulf Owren, Weizhu Bao
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Elena Celledoni, Claire Scheid

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Approximation numérique

Équations dispersives non linéaires

Klein-Gordon, Équation de

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équation de Benjamin–Bona–Mahony

Équation de Klein–Gordon

Système de Klein–Gordon–Schrödinger

Intégrale hautement oscillatoire

Consistance asymptotique

Précision uniforme

Régime des grandes ondes

Benjamin–Bona–Mahony equation

Klein–Gordon equation

Klein–Gordon–Schrödinger system

Highly oscillatory integral

Asymptotic consistency

Uniform accuracy

Long wave regime

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions trois équations aux dérivées partielles dans le contexte des approximations uniformément exactes. Nous proposons tout d'abord une nouvelle classe de méthodes de splitting uniformément exactes pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony qui convergent uniformément en le paramètre de dispersion ε. Les schémas proposés sont en outre asymptotiquement convergents et préservent la limite KdV. Nous conduisons une analyse rigoureuse de la convergence des schémas de splitting en exploitant les propriétés de régularisation du système. Cela nous permettra d'établir de meilleures bornes d'erreur avec un gain soit en régularité (pour les solutions non lisses) soit en le paramètre dispersif ε, le dernier cas étant intéressant dans les régimes de petit paramètre dispersif. Nous montrerons en particulier que, dans le cas classique BBM où P(∂x) = ∂x, le schéma de Lie splitting ne requiert aucune régularité spatiale, c'est-à-dire que la convergence temporelle du premier ordre se vérifie dans Hr pour les solutions dans Hr sans aucune perte de dérivée. Cette estimation est uniforme en ε. Dans des régimes régularisants ε = O(1), nous gagnons même une dérivée avec notre discrétisation temporelle au prix d'une perte en termes de 1/ε. Nous traitons ensuite un problème hautement oscillatoire qui nécessite des schémas numériques ciblés. Nous proposons une nouvelle classe de méthodes numériques uniformément exactes pour l'équation de Klein-Gordon qui capturent les régimes classiques c=1 ainsi que les régimes non-relativistes hautement oscillatoires c>>1 et, en même temps, permettent des approximations de régularité faible. Plus particulièrement, les schémas convergent avec un ordre en τ et τ2, respectivement, sous des hypothèses de régularité plus faibles que celles requises par les schémas classiques. Les nouveaux schémas préservent en outre la limite vers l'équation non linéaire de Schrödinger (NLS) au niveau discret. Plus précisément, nous concevons nos schémas de telle sorte que dans la limite c->∞ ils convergent vers une classe récemment introduite d'intégrateurs de faible régularité pour NLS. En appliquant les concepts développés ici, nous présentons une classe de méthodes numériques, asymptotiquement consistantes de type exponentiel pour des systèmes de Klein-Gordon-Schrödinger qui capturent tous les régimes depuis le régime classique de variation lente jusqu'au régime limite non relativiste hautement oscillatoire. Nous obtenons une convergence d'ordre un et deux qui est uniforme en c sans aucune restriction de taille du pas de temps. {En particulier, nous établissons une relation explicite entre le gain en termes de puissances négatives du paramètre potentiellement grand c dans la constante d'erreur et la perte en dérivée). Enfin, en sus de l'approximation uniforme de régularité réduite, nous introduisons une classe d'intégrateurs en temps pour les équations dispersives qui nous permettent de reproduire la dynamique de la solution depuis le régime classique ε=1 jusqu'au régime limite des ondes longues ε << 1 à l'échelle de temps naturelle de l'EDP t = O(1/ε). Plus particulièrement {l'erreur globale de nos nouveaux schémas est d'ordre τε (pour le schéma du premier ordre) et τ2ε (pour le schéma du second ordre) sur des intervalles de temps de longueur O(1/ε). Pour les quatre schémas que nous proposons, nous illustrerons nos résultats théoriques par des simulations numériques.

In this thesis we study three partial differential equations in the context of uniformly accurate approximations. First we propose a new class of uniformly accurate splitting methods for the Benjamin–Bona-Mahony equation which converge uniformly in the dispersive parameter ε. The proposed splitting schemes are furthermore asymptotic convergent and preserve the KdV limit. We carry out a rigorous convergence analysis of the splitting schemes exploiting the smoothing properties in the system. This will allow us to establish improved error bounds with gain either in regularity (for non smooth solutions) or in the dispersive parameter ε. The latter will be interesting in regimes of a small dispersive parameter. We will in particular show that in the classical BBM case P(∂x) = ∂x our Lie splitting does not require any spatial regularity, i.e, first order time convergence holds in Hr for solutions in Hr without any loss of derivative. This estimate holds uniformly in ε. In regularizing regimes ε = O(1) we even gain a derivative with our time discretisation at the cost of losing in terms of 1/ε . Then we treat a highly oscillatory problem that requires targeted numerical schemes. We propose a novel class of uniformly accurate integrators for the Klein–Gordon equation which capture classical c = 1 as well as highly-owescillatory non-relativistic regimes c>>1 and, at the same time, allow for low regularity approximations. In particular, the schemes converge with order τ and τ2, respectively, under lower regularity assumptions than classical schemes, such as splitting or exponential integrator methods, require. The new schemes in addition preserve the nonlinear Schr ̈odinger (NLS) limit on the discrete level. More precisely, we will design our schemes in such a way that in the limit c -> ∞ they converge to a recently introduced class of low regularity integrators for NLS. Applying the concepts developed here, we present a class of asymptotic consistent exponential-type integrators for Klein–Gordon–Schr ̈odinger systems that capture all regimes from the slowly varying classical regime up to the highly oscillatory non-relativistic limit regime. We achieve convergence of order one and two that is uniform in c without any time step size restrictions. In particular, we establish an explicit relation between gain in negative powers of the potentially large parameter c in the error constant and loss in derivative. Finally, steering away from uniform low regularity approximation, we introduce a class of time integrators fordispersive equations which allow us to reproduce the dynamics of the solution from the classical ε = 1 up to long wave limit regime ε << 1 on the natural time scale of the PDE t = O(1/ε). Most notably the global error of our new schemes is of order τε (for the first-order scheme) and τ2ε (for the second-order scheme) on time intervals of length O(1/ε). For the four schemes we propose, we will illustrate our theoretical findings by means of numerical simulations.