Méthodes tensorielles adaptatives pour problèmes haute dimensionnelles

Adaptive tensor methods for high dimensional problems

• Auteur / Autrice : María Fuente Ruiz
• Direction : Damiano Lombardi, Virginie Ehrlacher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 31/03/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de Paris (Paris) - Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Yvon Maday
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : André Uschmajew, Marie Billaud, Mi-Song Dupuy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Perrin, Antonio Falcó

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres polyadiques

Apprentissage profond

Analyse multivariée

Décomposition (mathématiques)

Calcul tensoriel

Mots clés libres

Méthodes tensorielles

Méthodes numériques

Haute dimension

Polyadique canonique

Modèles d'ordre réduit

Réseaux neuronaux

PINNs

Problèmes perturbés singuliers

Tensor methods

Numerical methods

High dimension

Canonical Polyadic

Model Order Reduction

Neural Networks

PINNs

Singulary Perturbed Problems

Résumé

Cette thèse vise à trouver des méthodes numériques pour approximer des fonctions multivariées. Elle couvre trois perspectives différentes: une méthode d'approximation de tenseur (Somme de Tensor Trains), une méthode d'approximation de tenseur locale basée sur le regroupement (HOSVD local), et une méthode basée sur l'apprentissage profond pour approximer une solution d'une EDP de convection diffusion. La première partie du travail propose une méthode pour approximer un tenseur en tant que somme de Tensor Trains, basée sur un algorithme gourmand et le TT-SVD. La seconde partie propose une méthode d'approximation de tenseur locale qui récupère une solution approximée au format HOSVD local, basée sur le regroupement et une recherche entre les combinaisons de partitions possibles pour minimiser la mémoire nécessaire pour stocker l'approximation. Les résultats montrent un bon taux de compression par rapport à HOSVD.

This thesis aims to find numerical methods for approximating multivariate functions (tensors). It covers three different perspectives: a tensor approximation method (Sum of Tensor Trains), a local tensor approximation method based on clustering (local HOSVD), and a deep learning-based method for approximating a solution of a convection diffusion PDE. The first part of the work proposes a method for approximating a tensor as a sum of Tensor Trains, which is based on a greedy algorithm and TT-SVD. The second part proposes a local tensor approximation method that retrieves an approximated solution in the local HOSVD format, based on clustering and a search between possible partition combinations to minimize memory needed to store the approximation. The results show good compression rate compared to HOSVD.