Propriétés ergodiques des flots en basses dimensions incluant les billards dispersifs

Ergodic properties of low dimensional flows including dispersive billiards

• Auteur / Autrice : Jérôme Carrand
• Direction : Viviane Baladi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/01/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Jérôme Buzzi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mike Todd, Yves Coudène, François Ledrappier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dalia Terhesiu, Françoise Pène

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Banach

Opérateurs de transfert

Formalisme (mathématiques)

Théorie ergodique

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Billard dispersif

Formalisme thermodynamique

Opérateurs de transfert

Banach anisotrope

Résonances de Ruelle

Dynamical Systems

Dispersive billiard

Thermodynamical Formalism

Transfer Operators

Anisotropic Banach space

Ruelle resonances

Résumé

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous proposons une preuve courte montrant que la croissance des intégrales ergodiques d'un flot uniquement ergodique sur un tore en dimension deux -- et admettant une section transverse dont l'application de Poincaré a un nombre de rotation de type constant -- est au plus logarithmique. En appliquant ce résultat au développement asymptotique des intégrales ergodiques pour les flots de Giulietti--Liverani, nous obtenons une nouvelle preuve de l'absence de résonance de Ruelle non triviale de module strictement supérieur à un. Nous donnons également un exemple de flot sur le tore renormalisé par un difféomorphisme Axiome A, satisfaisant les hypothèses impliquant une croissance au plus logarithmique. Dans la deuxième partie, nous construisons des états d'équilibre pour l'application de collision d'un billard dispersif, associés à des potentiels Hölder par morceaux. Cette construction repose sur l'étude d'un opérateur de transfert pondéré agissant sur des espaces de Banach anisotropes de distributions. Nous montrons que lorsque le potentiel satisfait certaines conditions techniques, alors il existe un état d'équilibre, qui de plus est unique, Bernoulli, adapté et a un support total. Nous montrons qu'il existe un potentiel particulier tel que l'ensemble de ses états d'équilibre est en bijection avec l'ensemble des mesures d'entropie maximale du flot billard. Dans la dernière partie, nous montrons que ce potentiel satisfait les hypothèses suffisantes garantissant l'existence et les autres résultats énoncés sur l'unique mesure d'équilibre. Par conséquent, nous obtenons une condition suffisante pour que le flot de billard admette une unique mesure d'entropie maximale, et nous donnons des exemples de billards qui satisfont cette condition. Enfin, nous prouvons que cette mesure est Bernoulli, adaptée au flot et a un support total.

This thesis is divided into two parts. In the first part, we give a short proof showing that the growth of ergodic integrals of a uniquely ergodic flow on a torus in dimension two -- and admitting a transverse section whose first return Poincaré map has a rotation number of constant type -- is at most logarithmic. By applying this result to the asymptotic expansion of the ergodic integrals for Giulietti--Liverani flows, we obtain a new proof of the absence of non-trivial Ruelle resonance of modulus strictly larger than one. We also give an example of a flow on the torus renormalized by an Axiom A diffeomorphism, satisfying the hypotheses implying at most logarithmic growth.In the second part, we construct equilibrium states for the collision map of a dispersive billiard, associated to piecewise Hölder potentials. This construction is based on the study of a weighted transfer operator acting on an anisotropic Banach space of distributions. We show that when the potential satisfies certain technical conditions, then the equilibrium state exists, is unique, Bernoulli, adapted and has full support. We show that there exists a potential such that the set of its equilibrium states are in bijection with the set of measures of maximal entropy of the billiard flow. In the last part, we show that this potential satisfies the sufficient assumptions guaranteeing the existence and the other results stated on the unique equilibrium measure. As a consequence, we obtain a sufficient condition for the billiard flow to admit a unique measure of maximal entropy, and give examples of billiard tables that satisfy this condition. Finally, we prove that this measure is Bernoulli, flow-adapted and has full support.