Propriétés de Feller, d’ergodicité et inférence non-paramétrique du processus jump-move

Feller property, ergodicity and non-parametric inference of the jump-move process

• Auteur / Autrice : Émilien Manent
• Direction : Ronan Le Guével, Frédéric Lavancier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 12/07/2023
• Etablissement(s) : Rennes 2 en cotutelle avec Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche Mathématique de Rennes / IRMAR
• Jury : Président / Présidente : Viet Chí Tran
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hélène Guérin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Romain Azaïs, Benoîte de Saporta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Couplage, Théorie du

Processus de naissance et de mort (processus stochastiques)

Noyaux (analyse fonctionnelle)

Algorithme de Gibbs

Markov, Processus de

Mots clés libres

Processus de Feller

Processus birth-death-move

Couplage

Mesure de Gibbs

Estimation par noyau

Feller processes

Birth-death-move processes

Coupling

Gibbs measures

Kernel estimator

Résumé

Cette thèse consiste à étudier les processus jump-move qui ont, entre autres, pour vocation de modéliser des dynamiques de populations spatiales. Leur dynamique est constituée de mouvements aléatoires markoviens continus et de sauts en alternance, généralisant des modèles tels que les processus de Markov déterministes par morceaux. Obtenir des résultats statistiques ne se faisant pas sans une étude préalable des propriétés probabilistes du processus observé, nous commençons par étudier en détail le caractère Feller des processus jump-move, avec comme horizon l’application à des systèmes de particules dans Rd. Ensuite, nous nous intéressons au comportement en temps long d’un certain type de processus jump-move, appelés processus birth-death-move spatiaux. Nous obtenons des critères sur les taux de naissances et morts pour avoir une vitesse de convergence géométrique vers une me-sure stationnaire. Nous terminons par l’étude de méthodes d’estimation non-paramétriques du noyau de sauts d’un processus jump-move. La convergence en norme L2 de l’estimateur considéré est alors obtenue dans le cadre de l’observation d’une trajectoire du processus en temps continu. Des résultats dérivés sont alors établis dans les cas spécifiques d’un noyau général à densité, dans le cas particulier du processus birth-death-move spatial et enfin lorsque l’observation du processus se fait de façon discrète.

This thesis consists in studying jump-move processes with a view to modelling the spatio-temporal dynamics of a system of particles. A jump-move process alternates between continuous Markovian random motions and random jumps, generalizing models such as piecewise deterministic Markov processes. Since statistical results cannot be obtained without a prior study of the probabilistic properties, we start by studying in detail the Feller properties of jump-move processes with a particular focus on particle systems in Rd. Then, we are interested in the long time behavior of a type of jump-move processes, called spatial birth-death-move processes. We obtain criteria on the birth and death rates to have a geometric convergence rate to a stationary measure. We conclude by studying non-parametric estimation methods of the jump transition kernel of a jump-move process. The convergence in L2 norm of the considered estimators is then obtained when the trajectory of the process is observed in continuous time. Derived results are then established first in the specific case of a general density kernel, second in the particular case of the spatial birth-death-move process and finally when the observation of the process is in discrete time.