Fonctions harmoniques sur les graphes ramifiés

Harmonic functions on branching graphs

• Auteur / Autrice : Nikita Safonkin
• Direction : Michael Pevzner, Grigori Olshanski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/10/2023
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Biologie, Chimie, Santé (Reims ; 2018-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Reims (LMR) - CNRS UMR 9008 (Reims, France)
• Jury : Président / Présidente : Sophie Morier-Genoud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michael Pevzner, Grigori Olshanski, Alexander Gnedin, Alexey BUFETOV, Natalia Tsilevich, Loic Poulain d andecy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Gnedin, Alexey BUFETOV

Mots clés

Mots clés contrôlés

Combinatoire algébrique

Homomorphismes (mathématiques)

Von Neumann, Algèbres de

Groupes compacts

Mathématiques

Groupes finis

Mathématiques -- Recherche

Mots clés libres

Diagrammes de Bratteli

Graphes ramifiés

Fonctions harmoniques

Traces semi-Finies

Algèbres AF

Mesures invariantes

Bratteli diagrams

Branching graphs

Harmonic functions

Semifinite traces

AF- algebras

Invariant measures

Résumé

La théorie classique des caractères des groupes finis et des groupes compacts peut être généralisée à d’autres classes de groupes et d’algèbres de diverses manières. Pour les groupes et les C∗-algèbres qui ne sont pas de type I, la théorie des caractères n’est pas liée aux représentations irréductibles mais aux représentations des facteurs normaux, c’est-à-dire aux homomorphismes des algèbres de von Neumann avec une trace finie ou semi-finie. Pour les AF-algèbres, on peut reformuler la théorie des caractères dans un langage combinatoire-algébrique grâce aux fonctions harmoniques non négatives sur les diagrammes de Bratteli. Les fonctions harmoniques qui prennent uniquement des valeurs finies sont en bijection avec les traces finies. Les traces semi-finies conduisent à des fonctions har- moniques semi-finies, qui peuvent prendre la valeur +∞ de telle manière que ces valeurs infinies puissent être approximées par des valeurs finies. Pour classer les traces semi-finies sur le groupe symétrique infini, A.J.Wassermann a suggéré en 1981 d’utiliser une bijection entre les représenta- tions de facteurs fidèles d’une C∗-algèbre primitive A et celles d’un idéal bilatère fermé arbitraire de A. Nous développons une version combinatoire de la méthode de Wassermann. Ensuite, nous l’appliquons pour décrire les fonctions harmoniques semi-finies sur le produit direct de graphes de branchement en termes de fonctions similaires sur les facteurs. La dernière partie de la thèse est consacrée à la classification des fonctions harmoniques semi-finies sur le graphe en zigzag.

Classical character theory of finite and compact groups may be generalized to other classes of groups and algebras in various ways. For groups and C∗-algebras not of type I the character theory is related not to irreducible representations but to normal factor representations, i.e. homomorphisms to von Neumann algebras with a finite or semifinite trace. For AF-algebras one can reformulate the character theory in a combinatorial-algebraic language, speaking about non-negative harmonic functions on Bratteli diagrams. Harmonic functions that take only finite values are in bijection with finite traces. Semifinite lower semicontinuous traces lead to semifinite harmonic functions, which may take the value +∞ in such a way that these infinite values can be approximated by finite ones. In order to classify the semifinite traces on the infinite symmetric group A.J.Wassermann suggested in 1981 to use a bijection between faithfull factor representations of a primitive C∗-algebra A and those of an arbitrary closed two-sided ideal of A. We develop a combinatorial version of Wassermann’s method. Subsequently, we apply it to describe semifinite harmonic functions on the direct product of branching graphs in terms of similar functions on the factors. The last part of the thesis is devoted to classification of semifinite harnomic functions on the zigzag graph.