Structures périphériques et invariants topologiques de sous-variétés nouées

Peripheral structures and topological invariants of knotted submanifolds

• Auteur / Autrice : Adrien Rodau
• Direction : Vincent Florens, Enrique Artal-Bartolo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Universidad de Zaragoza (Espagne)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et de leurs applications (Pau) - LMAP Laboratoire de mathématiques et de leurs applications - Pau
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Wagner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marco Golla, José Ignacio Cogolludo-Agustin, Léo Bénard, Jean Vallès, Michael Lönne
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marco Golla

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Topologie

Théorie des noeuds

Mots clés libres

Théorie des nœuds

Courbes algébriques complexes

Topologie en petite dimension

Knot theory

Plane complex algebraic curves

Low-dimensional topology

Résumé

On étudie des objets noués de codimension 2 dans des variétés de dimension 3 et 4 : des arrangements de droites complexes dans ℂP² et des entrelacs dans S³. On introduit de nouveaux invariants topologiques de leurs plongements, dérivés des interactions entre leur complémentaire et leur structure périphérique.La motivation concernant les arrangements de droites est d'identifier des paires de Zariski qui ont la même combinatoire mais des plongements différents. En utilisant des idées développées par B. Guerville-Ballé et W. Cadiegan-Schlieper, on considère l'application inclusion de la variété bord dans l'extérieur et son effet sur les classes d'homologie. Une étude approfondie de la structure graphée de Waldhausen de la variété bord permet d'identifier des générateurs spécifiques de son homologie. L'information de leurs images potentielles est collectée dans un groupe, le stabilisateur du graphe, qui a une présentation combinatoire simple. On utilise une implémentation en Sage et la monodromie de tresses pour calculer l'invariant dans certains exemples et produire de nouvelles paires de Zariski ordonnées.La seconde partie est consacrée à la théorie des nœuds et à une généralisation d'un invariant de pente (« slope ») développé par A. Degtyarev, V. Florens et A.G. Lecuona. Similairement aux arrangements de droites, on considère l'application inclusion des composantes de bord d'un voisinage de l'entrelacs dans l'extérieur. Au niveau de l'homologie tordue, le noyau de cette application est un sous-espace Lagrangien – pour la forme d'intersection – et sa pente est un invariant topologique de l'entrelacs. On présente deux applications de cette construction. Dans la première, en collaboration avec L. Bénard, on considère le cas des nœuds et des représentations dans SL₂(ℂ). L'invariant « slope » obtenu est étroitement relié à un invariant de haut niveau, le A-polynôme. La seconde application utilise une caractérisation des sous-espaces Lagrangiens due à V. Arnol'd. On construit un invariant de concordance qui a de nombreux liens avec l'invariant de Sato-Levine et les enlacements de Milnor.

We study knotted codimension-two objects in manifolds of dimension 3 and 4: complex line arrangements in ℂP² and links in S³ . We introduce new topological invariants of their embedding, derived from the interaction between their complement and their peripheral structure.The motivation for line arrangements is to identify Zariski pairs which have the same combinatorics but different embeddings. Building on ideas developed by B. Guerville-Ballé and W. Cadiegan-Schlieper, we consider the inclusion map of boundary manifold to the exterior and its effect on homology classes. A careful study of the graph Waldhausen structure of the boundary manifold allows to identify specific generators of the homology. Their potential images are encoded in a group, the graph stabiliser, with a nice combinatorial presentation. The invariant related to the inclusion map is an element of this group. Using a computer implementation in Sage and the braid monodromy, we compute the invariant for some examples and exhibit new ordered Zariski pairs.The second part concerns knot theory and a generalisation of a slope invariant developed by A. Degtyarev, V. Florens and A.G. Lecuona. Similarly to the context of line arrangements, we consider the inclusion map of the boundary components of a neighbourhood of a link in its exterior. On twisted homology, the kernel of this map is a Lagrangian subspace – for the intersection form – and its slopes provide a topological invariant of the link. We present two applications of this idea. In the first, developed in collaboration with L. Bénard, we consider knots and SL₂(ℂ) representations. This new slope invariant appears to be closely related to a higher-level invariant called the A-polynomial. The second application uses a Lagrangian characterisation method due to V. Arnol'd. It provides a concordance invariant with several relations to Sato-Levine invariant and Milnor linking numbers.