Analyse de sensibilité et optimisation pour des problèmes de contact

Sensitivity analysis and optimization for mechanical contact problems

• Auteur / Autrice : Aymeric Jacob de Cordemoy
• Direction : Fabien Caubet, Loïc Bourdin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2023
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau
• Jury : Président / Présidente : Aude Rondepierre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabien Caubet, Loïc Bourdin, Giuseppe Buttazzo, Aris Daniilidis, Samuel Amstutz, Samir Adly
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giuseppe Buttazzo, Aris Daniilidis

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Mathématiques

Mots clés libres

Optimisation de forme

Analyse de sensibilité

Analyse convexe

Analyse non lisse

Edp

Shape optimization

Sensitivity analysis

Convex analysis

Non-Smooth analysis

Edp

Résumé

L'analyse de sensibilité de problèmes décrits par des inéquations variationnelles est un domaine prometteur pour le traitement de problèmes de contrôle optimal et d'optimisation de forme en mécanique du contact. L'objectif de cette thèse est de mener une telle analyse sans utiliser les méthodes classiques de régularisation et/ou de pénalisation qui perturbent la nature non lisse des modèles physiques d'origine. Nous proposons alors une nouvelle méthodologie, basée sur des outils avancés issus de l'analyse convexe et non lisse, tels que l'opérateur proximal et le concept d'épi-différentiabilité du second ordre. Plus précisément, les modèles considérés sont ceux issus de la mécanique du contact, décrivant le contact entre des solides déformables qui se touchent sur des parties de leurs bords sans s'interpénétrer et qui peuvent éventuellement glisser l'un contre l'autre, provoquant ainsi des phénomènes de frottement. La condition de non-perméabilité peut être décrite par la loi de contact unilatéral de Signorini, tandis que le frottement peut être décrit par la loi de friction de Tresca. Ces deux lois se traduisent par des inégalités et/ou des termes non lisses dans les formulations variationnelles correspondantes. À l'aide de notre approche, nous procédons à une analyse de sensibilité de ces modèles et étudions ainsi des problèmes associés de contrôle optimal et d'optimisation de forme.

Sensitivity analysis of problems described by variational inequalities is a promising field for the treatment of optimal control and shape optimization problems in contact mechanics. The objective of this PhD thesis is to carry out such analysis without using classical regularization and/or penalization procedures which perturb the non-smooth nature of the original physical models. Then we propose a new methodology, based on advanced tools from convex and non-smooth analyses, such as the proximal operator and the concept of second order epi-differentiability. More precisely, the models considered are those from contact mechanics, describing the contact between a deformable body with a rigid foundation without penetrating it, and possibly allows sliding modes which causes friction phenomena. The non-permeability condition can be described by the Signorini unilateral conditions, while the friction can be described by the Tresca friction law, both resulting in inequalities and/or non-smooth terms in the corresponding variational formulations. Using our approach, we perform a sensitivity analysis of these models and thus study associated optimal control and shape optimization problems.