An exegesis of transcendental syntax : A journey into the logical machinery

Une exégèse de la syntaxe transcendantale

• Auteur / Autrice : Boris Eng
• Direction : Damiano Mazza
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 20/06/2023
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire informatique de Paris-Nord (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 2001-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Baptiste Joinet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Baptiste Joinet, Lorenzo Tortora de Falco, Lionel Vaux, Thomas Seiller, Claudia Faggian
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Lorenzo Tortora de Falco, Lionel Vaux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isomorphisme de Curry-Howard

Logique mathématique

Mots clés libres

Syntaxe transcendantale

Logique linéaire

Modèle de calcul

Transcendental syntax

Linear logic

Model of computation

Résumé

Cette thèse apporte un éclaircissement sur le travail récent de Jean-Yves Girard intitulé ''syntaxe transcendantale''. Girard propose une réorganisation et relecture des concepts de la logique mathématique venant de ses travaux précédents sur la logique linéaire, les réseaux de preuve, la ludique et la géométrie de l'interaction. À l'inverse des approches d'explications sémantiques reposant sur le caractère linguistique des entités logiques et leur évaluation, la syntaxe transcendantale propose de partir de la notion de calcul comme primitive afin de reconstruire la logique mathématique, en commençant par les réseaux de preuves de la logique linéaire. La correspondance de Curry-Howard, maintenant connue dans la recherche en informatique théorique, établissait déjà une correspondance formelle entre logique et calcul. Cependant, les liens entre logique et calcul sont encore mal compris. Sont-ils deux facettes de la même notion ? Deux notions différentes qui s'intersectent ? Ou alors deux choses complètement distinctes ? Cette thèse est en accord avec le dernier point de vue : l'une est antique et presque mystique, l'autre est plutôt moderne et pragmatique. Pour comprendre leurs différences et leur rôle, la syntaxe transcendantale propose un point de vue radical : aucune notion primitive de preuve mathématique, de vérité ou de formule n'est supposée. Seul le calcul, à travers un modèle de calcul, appelé ''résolution stellaire'' dans cette thèse, constitue le matériau élémentaire à travers lequel s'incarnent les concepts logiques. Ce modèle de calcul, proche de la programmation logique, utilise des mécanismes asynchrones et très libres d'unification de termes. Le principal problème auquel s'attaque cette thèse est que la proposition de Girard est plutôt informelle et cryptique. Un grand objectif est donc de clarifier et de proposer des définitions formelles. Un effort particulier est mis dans l'accessibilité de ces idées en proposant un voyage à travers les racines les plus vieilles et élémentaires de la logique et du calcul pour arriver aux questionnements les plus modernes. Les travaux de Girard seront ainsi historiquement et techniquement contextualisés. Le modèle de résolution stellaire sera formellement défini, illustré et commenté. La thèse se conclut par une contribution technique réalisée avec Thomas Seiller : une nouvelle interprétation du fragment multiplicatif de la logique linéaire et une esquisse de comment elle pourrait être étendue.

This thesis provides a clarification of Girard's recent work entitled ''transcendental syntax''. Girard suggests a reorganisation and a reinterpretation of concepts of mathematical logic coming from his previous works on linear logic, proof-nets, ludics and geometry of interaction. Unlike the approaches of semantic explanations based on the linguistic nature of logical entities and their evaluation, transcendental syntax suggests to start from the notion of computation as primitive in order to reconstruct mathematical logic, by starting with the proof-nets of linear logic. The Curry-Howard correspondence, now well-known among the oretical computer scientists, already established a formal correspondence between logic and computation. However, the links between logic and computation are still unclear. Are they two faces of the same thing ? Are they different but intersection notions ? Or are they completely distinct ? This thesis agrees with the last point of view : one is antique and almost mystical, the other is rather modern and pragmatic. In order to understand their differences and their role, transcendental syntax proposes a radical point of view : no primitive notion of mathematical proof, truth or formula is assumed. Only computation, through the model of computation called ''stellar resolution'' in this thesis, constitutes the elementary bricks from which logical concepts will be shaped. This model of computation, close to logic programming, uses asynchronous and very free mechanisms of term unification. The main problem that this thesis tackles is that Girard's proposal is rather informal and cryptic. A big objective is to clarify and to provide formal definitions. A particular effort is put in the accessibility of these ideas by suggesting a journey through the old and elementary roots of logic and computation to later reach the most modern works. Girard's works will then be put into context in both a historical and technical ways. The model of stellar resolution will be formally defined, illustrated and commented. The thesis concludes with a technical contributions realised with Thomas Seiller : a new interpretation of the multiplicative fragment of linear logic and asketch of how it could be extended.