Cohomology of Deligne-Lusztig varieties associated to PEL Rapoport-Zink spaces with signature (1,n-1)

Cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig associées aux espaces de Rapoport-Zink de signature (l ,n-1)

• Auteur / Autrice : Joseph Muller
• Direction : Pascal Boyer, Naoki Imai
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/04/2023
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Sophie Morel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sophie Morel, Torsten Wedhorn, Olivier Dudas, Jean-François Dat, Jacques Tilouine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Torsten Wedhorn, Olivier Dudas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique arithmétique

Shimura, Variétés de

Cohomologie

Mots clés libres

Variétés de Deligne

Lusztig

Géométrie arithmétique

Deligne

Lusztig varieties

Arithmetic geometry

Résumé

L'étude de la cohomologie des variétés de Shimura et des espaces de Rapoport-Zink devrait révéler des liens étroits avec les correspondances de Langlands, respectivement globales et locales. Cette cohomologie est en principe difficile à comprendre, en raison de la complexité inhérente à la géométrie de ces espaces. Néanmoins, il existe une certaine classe d'espaces de Rapoport-Zink, appelés "de type Coxeter", qui admettent une stratification très concrète par des variétés de Deligne-Lusztig dont la combinatoire est décrite par l'immeuble de Bruhat-Tits d'un groupe p-adique sous-jacent. Les variétés de Deligne-Lusztig ont été étudiées indépendamment dans le contexte de la théorie des représentations des groupes finis de type de Lie, domaine dans lequel leur cohomologie joue un rôle essentiel. Dans cette thèse, nous proposons d'exploiter la littérature sur la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig afin d'en déduire les conséquences sur la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink de type Coxeter. Nous appliquons cette stratégie aux cas des espaces de Rapoport-Zink PEL unitaires de signature (1,n-1) en une place ramifiée ou non. Cette approche originale a permis de dévoiler des phénomènes nouveaux, comme la non admissibilité en général de la cohomologie de ces espaces de Rapoport-Zink, et le calcul de la cohomologie du lieu supersingulier des variétés de Shimura associées pour les petites valeurs de n

The study of the cohomology of Shimura varieties and of Rapoport-Zink spaces should unveil a close relationship with global and local Langlands correspondences respectively. This cohomology is in principle difficult to understand, because of the complexity inherent to the geometry of these spaces. Nonetheless, there is a certain class of Rapoport-Zink spaces, called "of Coxeter type", which exhibit a very concrete stratification by Deligne-Lusztig varieties whose combinatorics is described by the Bruhat-Tits building of an underlying p-adic group. Deligne-Lusztig varieties have been studied independently in the context of representation theory of finite groups of Lie type, a field in which their cohomology plays an essential role. In this thesis, we suggest to use the litterature on the cohomology of Deligne-Lusztig varieties in order to draw the consequences on the cohomology of Rapoport-Zink spaces of Coxeter type. We apply this strategy to the cases of the PEL unitary Rapoport-Zink spaces of signature (1,n-1) at a ramified or unramified prime. This original approach allowed us to discover new phenomena, such as the non-admissibility in general of the cohomology of these Rapoport-Zink spaces, and the computation of the cohomology of the supersingular locus of the associated Shimura varieties for low values of n