Géométrie des fonctions d'ensemble en théorie des jeux : aspects algorithmiques et combinatoires

Geometry of Set Functions in Game Theory : Combinatorial and Computational Aspects

• Auteur / Autrice : Dylan Laplace Mermoud
• Direction : Michel Grabisch, Peter Sudhölter
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/09/2023
• Etablissement(s) : Paris 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale d'Économie (Paris ; 2004-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'économie de la Sorbonne (Paris ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Bich
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Grabisch, Peter Sudhölter, Philippe Bich, Tamàs Solymosi, Marina Núñez Oliva, Philippe Solal, P. Jean-Jacques Herings
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tamàs Solymosi, Marina Núñez Oliva

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Analyse combinatoire

Géométrie discrète

Fonctions d'ensemble

Théorie des jeux

Mots clés libres

Théorie des jeux

Géométrie discrète

Géométrie polyédrale

Combinatoire

Algorithmique

Fonctions d'ensemble

Stabilité du coeur

Game Theory

Balanced collections

Combinatorics

Discrete Mathematics

Core

Polyhedral Geometry

Combinatorial Optimization

Résumé

L'ambition principale de cette thèse est de contribuer au développement de la théorie des jeux coopératifs vers la combinatoire, l'algorithmique et la géométrie discrète. Par conséquent, le premier chapitre de ce manuscrit est consacré à la mise en évidence de la nature géométrique des fonctions de coalition des jeux à utilité transférable, et met en évidence les liens existants avec la théorie des fonctions d'ensembles submodulaires et la géométrie polyédrale. Pour approfondir les liens avec la géométrie polyédrale, nous définissons une nouvelle famille de polyèdres, appelés polyèdres de base, sur lesquels nous pouvons appliquer une version généralisée du théorème de Bondareva-Shapley pour vérifier leur non-vacuité. Pour permettre une utilisation pratique de ces outils de calcul, nous présentons une procédure algorithmique générant les collections minimales équilibrées, basée sur la méthode récursive de Peleg. Ensuite, nous appliquons la généralisation du théorème de Bondareva-Shapley pour concevoir une collection de procédures algorithmiques capables de vérifier des propriétés ou de générer des ensembles spécifiques de coalitions. Dans le chapitre suivant, nous étudions les liens avec la combinatoire. Tout d'abord, nous prouvons que les collections équilibrées forment une espèce combinatoire, et nous construisons celle des hypergraphes k-uniformes de taille p, comme étape intermédiaire pour construire l'espèce des collections équilibrées. Ensuite, quelques résultats concernant les arrangements de résonance déformés par les jeux sont introduits, ce qui donne de nouvelles informations sur l'espace des préimputations et la configuration faciale du cœur. Enfin, nous abordons la question de la stabilité du cœur en utilisant les résultats des chapitres précédents. Tout d'abord, nous présentons un algorithme basé sur la caractérisation de l'équilibre imbriqué de Grabisch et Sudhôlter pour les jeux avec un cœur stable, qui utilise largement la généralisation du théorème de Bondareva-Shapley introduit dans le deuxième chapitre. Ensuite, une nouvelle condition nécessaire pour la stabilité du cœur est décrite, basée sur l'application de la généralisation susmentionnée à un cône spécifique. Enfin, nous étudions la relation de domination entre les préimputations utilisant des projecteurs, et nous fournissons des formules explicites et des algorithmes pour projeter sur des polytopes et des intersections de sous-espaces affines.

The main ambition of this thesis is to contribute to the development of cooperative game theory towards combinatorics, algorithmes and discrete geometry. Therefore, the first chapter of this manuscript is devoted to the highlighting of the geometric nature of the coalition functions of transferable utility games, and spotlights the existing connections with the theory of submodular set functions and polyhedral geometry. To deepen the links with polyhedral geometry, we define a new family of polyhedra, called the basic polyhedra, on which we can apply a generalized version of the Bondareva-Shapley Theorem to check their nonemptiness. To allow a practical use of these computational tools, we present an algorithmic procedure generating the minimal balanced collections, based on Peleg’s recursive method. Subsequently, we apply the generalization of the Bondareva-Shapley Theorem to design a collection of algorithmic procedures able to check properties or generate specific sets of coalitions. In the next chapter, the connections with combinatorics are investigated. First, we prove that the balanced collections form a combinatorial species, and we construct the one of k-unifonn hypergraphs of size p, as an intermediary step to construct the species of balanced collections. Afterwards, a few results concerning resonance arrangements distorted by games are introduced, which gives new information about the space of preimputations and the facial configuration of the core. Finally, we address the question of core stability using the results from the previous chapters. Firstly, we present an algorithm based on Grabisch and Sudholter’s nested balancedness characterization of games with a stable core, which extensively uses the generalization of the Bondareva-Shapley Theorem introduced in the second chapter. Secondly, a new necessary condition for core stability is described, based on the application of the aforementioned generalization to a specific cone. Finally, we study the domination relation between preimputations using projectors, and we provide explicit formulas and algorithms to project on polytopes and intersections of affine subspaces.