Nouveaux résultats concernant les équilibres de Nash et les réseaux stables par paires dans le cas semi-algébrique : nombre, structure et dynamiques

New results concerning Nash equilibria and pairwise stable networks in the semi-algebraic case : number, structure and dynamics

• Auteur / Autrice : Julien Fixary
• Direction : Philippe Bich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/09/2023
• Etablissement(s) : Paris 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale d'Économie (Paris ; 2004-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'économie de la Sorbonne (Paris ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Sorin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Bich, Sylvain Sorin, Arkadi Predtetchinski, Guillaume Vigeral, Jean-Marc Bonnisseau, Rida Laraki, Pascal Gourdel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arkadi Predtetchinski, Guillaume Vigeral

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie

Réseaux (mathématiques)

Nash, Variétés de

Théorie des jeux

Equilibre de Nash

Mots clés libres

Réseaux stables par paires

Théorie des jeux

Equilibres de Nash

Dynamique de réseaux

Stabilité par paires

Théorie des réseaux

Pairwise stability

Nash equilibrium

Topological structure

Generic oddness

Unknottedness theorem

Network dynamics

Polynomial payoff functions

Résumé

Chapitre 1 : nous commençons par étudier la structure du graphe des réseaux stables par paires associé à tout ensemble A-régulier de sociétés. Nous montrons qu'il est homéomorphe à ce même-ensemble de sociétés, par un homéomorphisme qui est proprement homotopique à une projection. Ensuite, nous considérons certains ensembles A-réguliers de sociétés que nous appelons A-s.a. réguliers. Nous démontrons que génériquement, toute société appartenant à un ensemble A-s.a. régulier de sociétés admet un nombre impair de réseaux stables par paires. Chapitre 2 : nous transposons le vocabulaire du premier à la théorie des jeux, et nous généralisons nos résultats. Tout d'abord, nous obtenons une légère amélioration du théorème de Predtetchinski (2009) en considérant des ensembles A-réguliers de jeux. De plus, nous considérons une régularité moins forte que la régularité A-s.a. : la régularité fortement dim(L)-s.a. Avec ces ensembles, nous améliorons le théorème de Wilson (1971) en démontrant la généricité de l'imparité du nombre d'équilibres de Nash, pour tout jeu dans n'importe quel ensemble dim(L)-fortement s.a. régulier de jeux. Chapitre 3 : nous approfondissons l'analyse faite dans le premier chapitre. Nous montrons que le graphe des réseaux stables par paires associé à tout ensemble A-régulier V de sociétés n'a pas de nœuds. Ensuite, nous introduisons la notion de dynamique de réseaux (analogue à celle de champ de Nash en théorie des jeux). Finalement, nous utilisons notre précédent résultat afin de montrer que n'importe quelles dynamiques de réseaux D et D' sur un ensemble A-régulier V arbitraire sont homotopes au sein même de l'ensemble de toutes les dynamiques de réseaux sur V.

Chapter 1: we begin by studying the structure of the graph of pairwise stable networks associated with any A-regular set of societies. We show that it is homeomorphic to this same set of societies, by a homeomorphism which is properly homotopic to a projection. Next, we consider some A-regular sets of societies which we call A-s.a. regular. We demonstrate that generically, any society belonging to a A-s.a. regular set of societies admits an odd number of pairwise stable networks. Chapter 2: we transpose the vocabulary of the first chapter to game theory, and we generalize our results. First of all, we obtain a slight improvement of Predtetchinski's theorem (2009) by considering A-regular sets of games. Furthermore, we consider a regularity less strong than A-s.a. regularity: dim(L)-strong s.a. regularity. With these sets, we improve Wilson's theorem (1971) by demonstrating the genericity of the oddness of the number of Nash equilibria, for any game in any dim(L)-strongly s.a. regular set of games. Chapter 3: we deepen the analysis made in the first chapter. We show that the graph of pairwise stable networks associated with any A-regular set V of societies has no knots. Next, we introduce the notion of network dynamic (analogous to that of Nash field in game theory). Finally, we use our previous result to show that any network dynamics D and D' on an arbitrary A-regular set V are homotopic within the set of all network dynamics on V.