Méthodes spectrales en géométrie sous-riemannienne

Spectral Methods In SubRiemannian Geometry

• Auteur / Autrice : Mohammad Hussein Harakeh
• Direction : Luc Hillairet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2023
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Trélat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dario Prandi, Emmanuel Humbert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clotilde Fermanian-Kammerer, Frédéric Jean

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions propres

Géométrie de Riemann

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie spectrale

Inégalité de concentration

Opérateurs sous-elliptiques

Théorie de la perturbation

Géométrie sous-riemannienne

Spectral theory

Concentration inequality

Subelliptic operators

Perturbation theory

SubRiemannian geometry

Résumé

Ce manuscrit traite de deux sujets qui convergent vers une idée : l'utilisation des méthodes spectrales en géométrie sous-riemannienne. Tout d'abord, nous étudions la validité des inégalités de concentration pour les fonctions propres de l'opérateur généralisé de Baouendi-Grushin sur un cylindre infini. Nous démontrons que généralement, les valeurs propres de l'opérateur de Baouendi-Grushin ont une multiplicité de 2, que nous prouvons être une condition suffisante pour la validité de l'inégalité de concentration. Ensuite, nous étudions les structures sous-riemanniennes en les approximant par des structures riemanniennes. Nous introduisons un schéma d'approximation et prouvons qu'il induit une forme de volume qui coïncide - à une constante près - avec le volume de Popp. Nous démontrons ensuite que le spectre de la famille des Laplaciens riemanniens associés au schéma d'approximation converge vers le spectre du sous-Laplacien.

This manuscript handles two subjects that meet at one idea: using spectral methods in subRiemannian geometry. First, we study the validity of concentration inequalities for eigenfunctions, for the generalised Baouendi Grushin operator on an infinite cylinder. We prove that generically, the eigenvalues of the Baouendi Grushin operator has multiplicity 2 which we prove to be a sufficient condition to the validity of the concentration inequality. Second, we study subRiemannian structures by approximating these structures with Riemannian ones. We introduce an approximation scheme and prove that it induces a volume form that coincides -up to a constant- with the Popp's volume. We then prove that the spectrum of the family of Riemannian Laplacians associated to the approximation scheme converges to the spectrum of the subLaplacian.