Analyse et analyse numérique d'EDP issues de la thermomécanique des fluides

Analysis and numerical analysis of EDP from fluid thermomechanics

• Auteur / Autrice : Mirella Aoun
• Direction : Olivier Guibé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 20/12/2023
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : établissement co-accrédité : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Carole Rosier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Boris P. Andreïanov, Hasnaa Zidani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Miranville, Roger Lewandowski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaleur -- Convection

Systèmes non linéaires

Équations différentielles elliptiques

Équations différentielles paraboliques

Navier-Stokes, Équations de

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Analyse numérique

Volumes finis, Méthodes de

Mots clés libres

Volumes finis

Solutions renormalisées

Problème de Convection-diffusion

Donnée L^1

Existence de solutions

Phase-field

Équations de Navier-Stokes

Problèmes Parabolique

Problèmes Elliptique

Systèmes non linéaires

Finite volume

Renormalized solutions

Convection-diffusion problem

L^1 data

Phase-field

Existence of solutions

Navier-Stokes equations

Parabolic problems

Elleptic problems

Nonlinear systems

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons à des systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de solidification non isotherme avec prise en compte de la convection. Ces systèmes consistent en un couplage non linéaire de trois équations aux dérivés partielles : la première est l'équation de la phase, la deuxième est l'équation de conservation de l'énergie et la troisième est l'équation de Navier-Stokes incompressible. Plus précisément, nous nous intéressons à établir des résultats sur l'existence de solutions pour ce type de systèmes en dimension 2 et 3 ainsi que sur la convergence de solutions approchées par la méthode des volumes finis. Une des particularités de ce type de système est la présence d'un terme naturellement dans L^1 dans l'équation de conservation de l'énergie, ce qui demande un traitement particulier.Cette thèse est divisée en deux parties.La première partie comporte deux chapitres et est consacrée à l'étude des problèmes avec données L^1 et des conditions aux limites de type Neumann. Pour traiter ces problèmes et ces données peu régulières, nous nous plaçons dans le cadre des solutions renormalisées.Nous établissons dans un premier chapitre un résultat de convergence des solution approchées par la méthode des volumes finis vers l'unique solution renormalisée à médiane nulle dans le cas d'une équation de convection-diffusion elliptique. Dans le second chapitre nous nous intéressons à un problème parabolique non-linéaire, avec des conditions de Neumann non homogène et un terme de convection. Pour ce problème nous donnons une définition de solution renormalisée et nous montrons l'existence et l'unicité d'une telle solution.La deuxième partie comporte deux chapitres et est consacrée à l'étude du système en dimension 2 et 3. Dans un premier chapitre nous traitons le cas de la dimension 2 et nous définissons une notion de solution faibles--renormalisées. Avec notamment l'aide des résultats d'existence et de stabilité établis dans la première partie pour l'équation de la conservation de l'énergie, nous démontrons un résultat d'existence de solution.Le dernier chapitre aborde le cas plus délicat de la dimension 3. L'absence de résultat général de stabilité et d'unicité pour l'équation de Navier-Stokes en dimension 3 nous impose tout d'abord à transformer le système en un système formellement équivalent. Par approximation et passage à la limite nous démontrons un résultat d'existence de solution dans un sens faible.

In this thesis, we focus on nonlinear evolutionary systems derived from a non-isothermal solidification problem with melt convection. These systems consist of three partial differential equations. The first is the phase-field equation coupled with the heat equation and the incompressible Navier-Stokes equation. More precisely, we are interested in the existence of solutions for these types of systems in the two-dimensional and the three-dimensional cases, and in the convergence of a finite volume approximation. One of the particularities of this type of system is the presence of a term naturally in L^1 in the energy conservation equation, which requires special treatment.This thesis is divided into two parts.The first part is divided into two chapters and is devoted to the study of problems with L^1 data and Neumann-type boundary conditions. To deal with these problems, and with data that are not very regular, we use the framework of renormalized solutions.In the first chapter, we establish a convergence result for solutions approximated by the finite volume method to the unique renormalized solution with zero median in the case of an elliptic convection-diffusion equation. In the second chapter, we focus on a non-linear parabolic problem with non-homogeneous Neumann conditions and a convection term. For this problem, we provide a definition of a renormalized solution and we show the existence and uniqueness of such a solution.The second part is devoted to the study of the system in dimensions 2 and 3. The first chapter deals with the dimension 2 and defines the notion of weak--renormalized solutions. With the help of the existence and stability results established in the first part for the conservation of energy equation, we prove the existence of a weak--renormalized solution.The final chapter considers the trickier case of dimension 3. The absence of a general stability and uniqueness result for the 3-dimensional Navier-Sokes equation requires us to transform the system into a formally equivalent one. By approximation and passage to the limit, we prove the existence of a solution in a weak sense.