Turbulence quantique dans 4He et condensats de Bose-Einstein : modélisation et simulation numérique haute performance

Quantum turbulence in 4He and Bose-Einstein condensates : modeling and high performance numerical simulations

• Auteur / Autrice : Victor Kalt
• Direction : Ionut Danaila, Marc-Étienne Brachet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 19/01/2023
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Hecht
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Di Menza, Marcela Gabriela Szopos, Christophe Josserand
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Di Menza

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Simulation, Méthodes de

Turbulence

Éléments finis, Méthode des

Tourbillons (mécanique des fluides)

Navier-Stokes, Équations de

Équations de Gross-Pitaevskii

Condensation de Bose-Einstein

Hélium liquide

Superfluidité

Mots clés libres

Hélium superfluide

Condensats de Bose-Einstein

Gross-Pitaevskii

Navier-Stokes

Bogoliubov-de Gennes

Vortex

Eléments finis

FreeFem++

Algorithme de Newton

Toolbox open-source

Simulations 2D et 3D

Friction mutuelle

Superfluid helium

Bose-Einstein condensates

Gross-Pitaevskii

Navier-Stokes

Bogoliubov-de Gennes

Vortex

Mutual friction

Finite elements

FreeFem++

Mesh adaptivity

Newton algorithm

Open-source toolbox

2D and 3D simulations

Résumé

Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.

Since the description of the condensation of a boson gas cooled to 0K by Bose and Einstein in the first part of the XXth century, many mathematical, physical and numerical works have been devoted to the study of Bose-Einstein condensates and more generally superfluidity. We present in this work numerical methods for the study of excitations in condensates and a model of mutual friction in superfluid helium. The Gross-Pitaevskii model, which is a nonlinear Schrödinger equation, is used to describe superfluids. Finite-element algorithms, along with a FreeFem++ implementation, are presented for the identification of vortices in 2D and 3D numerical simulations and experimental images. Numerous properties of the vortices are computed: vortex radius, Kelvin wave spectrum, vortex line curvature, etc. The Bogoliubov-de Gennes eigenvalue problem, describing the stability of a stationary state and obtained by linearising the Gross-Pitaevskii equation around the stationary state is also studied. We couple Newton's method for the search of the stationary state with an eigenvalue computation library (ARPACK or SLEPc) for the Bogoliubov-de Gennes problem. Two FreeFem++ codes using mesh adaptation are presented: one sequential, the other parallelized with PETSc. For the study of mutual friction in superfluid helium-II, a phenomenological model coupling the Navier-Stokes and Gross-Pitaevskii equations is developed. It has been implemented in a pseudo-spectral parallel Fortran code for two- and three- dimensional simulations. Numerical parameters are determined by studying examples where analytical results are known in the case of a one-way coupling. The model is validated by retrieving known results. Triple vortex ring structures and a vortex line reconnections are simulated with the full coupling.