Etude de quelques problèmes liés aux marches aléatoires branchantes et aux marches aléatoires renforcées

Study of several problems linked to branching random walks and reinforced random walk

• Auteur / Autrice : Valentin Rapenne
• Direction : Christophe Sabot, Xinxin Chen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/07/2023
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Maillard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Sabot, Xinxin Chen, Silke Rolles, Cyril Labbé, Marielle Simon, Pierre Tarrès
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Silke Rolles, Cyril Labbé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs aléatoires

Marches aléatoires branchantes

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Marches aléatoires branchantes

Marches aléatoires renforcées

Opérateurs aléatoires

Propriétés de Matsumoto-Yor

Branching random walks

Reinforced random walks

Random operators

Matsumoto-Yor properties

Résumé

Dans cette thèse nous étudions des marches aléatoires branchantes spatiales critiques partant de processus ponctuels et un processus renforcé nommé VRJP. Nous donnons une nouvelle preuve de la caractérisation des mesures invariantes pour les marches branchantes spatiales en grande dimension. Par ailleurs, nous nous intéressons au comportement asymptotique d'une martingale associée au VRJP. Nous étudions également la densité d'état d'un opérateur de Schrödinger aléatoire lié au VRJP. De plus, en considérant des limites d'échelle du potentiel aléatoire associé au VRJP, nous fournissons une nouvelle preuve des propriétés de Matsumoto-Yor concernant des fonctionnelles exponentielles du mouvement Brownien. A l'aide des mêmes limites d'échelle, nous construisons une version continue de l'opérateur de Schrödinger associé au VRJP. Enfin, nous prouvons une version multidimensionnelle des propriétés de Matsumoto-Yor.

In this thesis we study spatial critical branching random walks starting from point processes and a reinforced process called the VRJP. We give a new proof of the characterization of invariant measures for spatial branching random walks in high dimension. Moreover, we look at the asymptotic behaviour of some martingale which is related with the VRJP. We also study the density of states of a random Schrödinger operator which is associated with the VRJP. Furthermore, considering the scaling limits of a random potential which is linked to the VRJP, we give a new proof of Matsumoto-Yor properties regarding some exponential functionals of the Brownian motion. By means of these scaling limits, we also construct a continuous version of the Schrödinger operator associated with the VRJP. Finally, we prove a multidimensional version of the Matsumoto-Yor properties.