Bien-posé et stabilisation d'équations hyperboliques couplées impliquant des systèmes de Timoshenko, Rao-Nakra et Bresse par divers types de contrôles

Well-posedness and stabilization of coupled hyperbolic equations involving Timoshenko, Rao-Nakra and Bresse systems by various types of controls

• Auteur / Autrice : Zeinab Mohamad Ali
• Direction : Aïssa Guesmia, Bassam Mourad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/12/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Cristina Pignotti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aïssa Guesmia, Bassam Mourad, Stéphane Gerbi, Ahmed Bchatnia, Judith Vancostenoble, Julie Valein, Ali Wehbe
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphane Gerbi, Ahmed Bchatnia

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multiplicateurs (analyse mathématique)

Théorie spectrale (mathématiques)

Semigroupes

Théorie des poutres

Équations différentielles hyperboliques -- Solutions numériques

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

EDP

Contrôle

Stabilisation

Semigroupe

Analyse spectrale

Méthode des multiplicateurs

PDE

Control

Stabilization

Semigroup

Spectral analysis

Multipliers method

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'existence, l'unicité et la régularité des solutions, et la stabilisation de certains systèmes localement couplés. Tout d'abord, nous étudions l'existence, l'unicité et la régularité des solutions et la stabilité d'un système de Timoshenko unidimensionnel avec un amortissement fractionnaire interne localisé de Kelvin-Voigt dans un domaine borné. Nous étudions trois cas : le premier, lorsque l'amortissement est localisé dans le moment de flexion, le deuxième lorsque l'amortissement est localisé dans la contrainte de cisaillement, nous prouvons que le système est bien posé au sens des semigroupes theory et l'énergie du système décroît polynômialement. En revanche, lorsque le Kelvin-Voigt fractionnaire agit simultanément sur la contrainte de cisaillement et le moment de flexion, nous montrons que le système est bien posé au sens des semigroupes theory et il est polynômialement stable, à condition que les deux amortissements agissent dans le même sous-intervalle. Deuxièmement, nous considérons l'équation de la poutre de Rao-Nakra généralisée. Le système se compose de quatre équations d'ondes pour les déplacements longitudinaux et l'angle de cisaillement des couches supérieure et inférieure et d'une équation de poutre d'Euler-Bernoulli pour le déplacement transversal. On commence par montrer que le système est bien posé au sens des semigroupes theory. Ensuite, on traite la question de la stabilité. Tout d'abord, nous montrons que la stabilité analytique est assurée lorsque tous les déplacements sont globalement amortis par l'amortissement de Kelvin-Voigt. Ensuite, nous considérons le cas où l'amortissement local n'agit que sur les déplacements de l'angle de cisaillement des couches supérieure et inférieure, et nous obtenons des conditions suffisantes pour que le système soit fortement stable. En utilisant la méthode fréquentielle combinée avec la méthode des multiplicateurs, on montre que l'énergie du système décroît polynomialement. Enfin, nous étudions la stabilité d'un système de type Bresse dans la ligne entière avec un amortissement par frottement en travaillant uniquement sur la première équation (déplacement vertical). Nos objectifs sont de prouver certains résultats de stabilité et de non-stabilité en fonction des paramètres du système. Plus précisément, nous prouvons que, dans certains cas, le système est polynômialement stable, et dans d'autres cas, la solution ne converge pas du tout vers zéro. Les preuves sont basées sur la méthode de l'énergie et l'analyse de Fourier combinées avec certaines fonctions de poids bien choisies.

This thesis is devoted to study the well-posedness and stabilization of some locally coupled systems. First, we study the well-posedness and stability of a one-dimensional Timoshenko system with localized internal fractional Kelvin-Voigt damping in a bounded domain. We investigate three cases : the first one, when the damping is localized in the bending moment, the second case when the damping is localized in the shear stress, we prove that the system is well posed in the sense of semigroup theory and its energy decays polynomially with rate t−1 in both cases. While, when the fractional Kelvin-Voigt is acting on the shear stress and the bending moment simultaneously, we show that the system is well posed in the sense of semigroup theory and polynomially stable, provided that the two dampings are acting in the same sub-interval. Second, we consider the generalized Rao-Nakra beam equation. The system consists of four waveequations for the longitudinal displacements and the shear angle of the top and bottom layers and one Euler-Bernoulli beam equation for the transversal displacement. We start by proving that the system is well posed in the sense of semigroup theory. Then, we study the stability problem. First, we show that the analytic stability holds when all the displacements are globally damped through Kelvin-Voigt damping. Second, we consider the case where the local damping acts only on the shear angle displacements of the top and bottom layers, and we obtain sufficient conditions for the system to be stronglystable. Using frequency domain arguments combined with the multiplier method, we prove that the energy of the system decays polynomially. Finally, we investigate the stability of a Bresse-type system in the whole line with a frictional damping working only on the first equation (vertical displacement). Our objectives are proving some stability and non-stability results depending on the parameters in the system. More precisely, we prove that, in some cases, the system is polynomially stable, and in some other cases, the solution does not converge to zero at all. The proofs are based on the energy method and Fourier analysis combined with some well choosen weight functions.