Processus de branchement bi-sexués multi-types

Multi-type bi-sexual branching processes

• Auteur / Autrice : Nicolás Mauricio Zalduendo Vidal
• Direction : Denis Villemonais, Coralie Fritsch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Amandine Véber
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Denis Villemonais, Coralie Fritsch, Julien Berestycki, Viet Chí Tran, Jaime San Martín, Anne Gégout-Petit, Pascal Maillard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Berestycki, Viet Chí Tran

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus ramifiés

Malthusianisme

Fonctions concaves

Loi des grands nombres

Modèles mathématiques

Extinction (biologie)

Processus stochastiques

Probabilités

Mots clés libres

Processus de branchement

Modélisation probabiliste

Critère d'extinction

Loi des grands nombres

Distributions quasi-stationnaires

Comportement malthusien

Branching processes

Probabilistic modelisation

Extinction criterion

Law of large numbers

Quasi-Stationary distributions

Malthusian behaviour

Résumé

Le processus de Galton-Watson bi-sexué, introduit par Daley, est une extension du processus de Galton-Watson classique, décrivant l'accouplement de femelles et de mâles, formant des couples capables de se reproduire. Des propriétés telles que des conditions d'extinction et le comportement asymptotique ont été étudiées au cours des dernières années dans le cas uni-type, mais les versions multi-types n'ont été traitées que dans certains cas particuliers. Dans cette thèse, nous développons une version multidimensionnelle générale du modèle de Daley, où nous considérons différents types de femelles et de mâles, qui s'accouplent selon une “fonction d'appariement”. Nous supposons que cette fonction est superadditive, ce qui signifie simplement que deux groupes de femelles et de mâles forment un plus grand nombre de couples ensemble plutôt que séparément. L'une des principales difficultés dans l'étude de ce processus est que, contrairement au processus de Galton-Watson classique (asexué), l'opérateur associé au processus n'est pas linéaire mais concave. Pour surmonter ce problème, nous utilisons une théorie de Perron-Frobenius pour les opérateurs concaves, qui garantit l'existence d'éléments propres pour notre opérateur. Dans cette thèse, nous démontrons des lois des grands nombres et établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour l'extinction presque sûre du processus. Nous étudions également, à travers l'identification d'une surmartingale, la convergence du processus en temps long dans le cas surcritique ainsi que l'existence de distributions quasi-stationnaires pour le régime sous-critique. Enfin, quelques extensions à des modèles avec une fonction d'appariement aléatoire et des modèles en temps continu sont traitées.

The bisexual Galton-Watson process, introduced by Daley, is an extension of the classical Galton-Watson process, but taking into account the mating of females and males, which form couples that can accomplish reproduction. Properties such as extinction conditions and asymptotic behaviour have been studied in the past years in the single-type case, but multi-type versions have only been treated in some particular cases. In this thesis we deal with a general multi-dimensional version of Daley's model, where we consider different types of females and males, which mate according to a “mating function”. We consider that this function is superadditive, which in simple words implies that two groups of females and males will form a larger number of couples together rather than separate. One of the main difficulties in the study of this process is the absence of a linear operator that is the key to understand its behavior in the asexual case, but in our case it turns out to be only concave. To overcome this issue, we use a concave Perron-Frobenius theory which ensures the existence of eigen-elements for some concave operators. Using this tool, we find a necessary and sufficient condition for almost sure extinction as well as laws of large numbers. We also study the convergence of the process in the long-time through the identification of a supermartingale, and the existence of quasi-stationary distributions for the subcritical regime. Finally, some extensions to models with random mating function and models in continuous time are considered.