Algorithmes de paramétrisation globale pour maillages quadrilatéraux

Global Parametrization Algorithms for Quadmeshing

• Auteur / Autrice : Guillaume Coiffier
• Direction : Dmitry Sokolov, Etienne Corman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 06/12/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Xavier Goaoc
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Etienne Corman, Mirela Ben-Chen, Marco Tarini, Pooran Memari, Mélina Skouras, Bruno Lévy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mirela Ben-Chen, Marco Tarini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algorithmique

Programmation (mathématiques)

Grilles (analyse numérique)

Mots clés libres

Maillage quadrilatère

Paramétrisation

Géométrie numérique

Quadmeshing

Parametrization

Geometry Processing

Résumé

Les maillages quadrangulés sont une structure de données centrale au domaine du traitement automatique de la géométrie, trouvant des applications en infographie comme en simulation numérique. De nos jours, les techniques de génération automatique calculant les maillages quads de meilleure qualité se basent sur le calcul d'une représentation à plat de la surface à mailler. Pour que des quadrilatères puissent être extraits, cette paramétrisation se doit d'être "sans couture", c'est-à-dire de respecter un ensemble de contraintes sur son bord et ses découpes. Cela demande une quantification en nombre entier de certains degrés de liberté. Ces contraintes sont généralement imposées petit à petit dans un pipeline d'opérations désormais bien étudié, consistant en un calcul de champ de repères lisse, définissant un champ de singularités au défaut d'angle multiple de "pi/2", une phase d'intégration pour obtenir une paramétrisation aux coutures sans rotation, suivie d'une phase de quantification déterminant les degrés de liberté en translation. Cette thèse s'intéresse à l'amélioration des différentes étapes du pipeline de génération de maillages quadrilatéraux. En nous appuyant sur des notions de géométrie différentielle, nous proposons des formulations du problème évitant les écueils de l'approche actuelle. Premièrement, nous abandonnons la résolution de problèmes en nombre entier pour certaines étapes (connue pour être difficiles à résoudre) pour la remplacer par la minimisation de fonctions objectif continues (bien que non convexe). Deuxièmement, nous fusionnons certaines étapes du pipeline en une seule optimisation déterminant en un seul coup les degrés de liberté correspondants. Cela permet plus de versatilité et de contrôle utilisateur sur le maillage quad final, et évite les cas d'échecs classiques causés par l'approche gloutonne du pipeline actuel. Ces formulations théoriques du problème de paramétrisation sans couture s'accompagnent d'implémentations pratiques dans lesquelles nous démontrons la viabilité de nos approches sur une grande variété de modèles CAO. Finalement, notre travail est théoriquement généralisable au problème plus difficile du maillage hexaédrique, là où les algorithmes de paramétrisation actuels sont soit uniquement valables pour les surfaces, soit échouent à produire des résultats de façon robuste.

Quadrangular meshes are a central data structure in the domain of geometry processing, with applications ranging from computer graphics to numerical simulation. Nowadays, techniques for automatic generation of quadmeshes with the highest quality results rely on a flat representation of the surface to mesh. For quads to be extracted from this so-called surface parametrization, it has to be seamless, that is to say satisfy a set of constraints on its boundary and its cuts. This needs a quantization as integer values of some of its degrees of freedom. These constraints are usually enforced progressively in a well-studied pipeline of operations, consisting in the computation of a smooth frame field, defining a singularity distribution with angle defects multiple of "pi/2", an integration phase from which a rotationally seamless parametrization is recovered, and a quantization step to determine the translational degrees of freedom. In this work, we focus on improving the steps of the parametrization-based quadmeshing pipeline. Using notions from differential geometry, we propose formulations of the problem that avoids the drawbacks of the current approaches. Firstly, we get rid of the mixed-integer optimization problems (known to be hard to solve) used in some steps. We replace them by the minimization of smooth (yet non-convex) objective functions. Secondly, we merge some of the pipeline's steps into a single optimization determining the corresponding degrees of freedom in one go. This allows for more versatility and user control over the final quadmesh, and avoids typical failure cases caused by the greedy approach of the current pipeline. These theoretical formulations of the seamless parametrization problems are accompanied by practical implementations where we demonstrate the viability of our approach on a vast array of CAD models. Finally, our work is theoretically generalizable to the more difficult problem of hexahedral meshing. As current parametrization-based approaches are only suitable for surfaces or simply fail at reliably producing results in the volume case, this opens the way for more robustness and qualitative hexmeshes.