Positivité sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques

Positivity on irreducible holomorphic symplectic manifolds

• Auteur / Autrice : Francesco Antonio Denisi
• Direction : Gianluca Pacienza, Giovanni Mongardi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/10/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Claire Voisin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gianluca Pacienza, Giovanni Mongardi, Olivier Debarre, Alex Küronya, Catriona Maclean, Matei Toma
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Debarre, Alex Küronya

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Géométrie différentielle projective

Fonctions holomorphes

Variétés symplectiques

Positivité (mathématiques)

Mots clés libres

Positivité de fibrés en droites

Variétés irréductibles holomorphes symplectiques

Corps d'Okounkov

Positivity of line bundles

Irreducible holomorphic symplectic manifolds

Okounkov bodies

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la positivité des diviseurs sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques (IHS). Fixons une variété IHS projective X de dimension complexe 2n. Inspirés par le travail de Bauer, Küronya et Szemberg, nous montrons que le cône big de X a une décomposition localement finie en sous-cônes localement rationnelles polyhédraux, qu'on appelle chambres de Boucksom-Zariski. Ces sous-cônes ont une signification géométrique : sur chacun d'eux, la fonction volume est exprimée par un polynôme homogène de degré 2n. De plus, à l'intérieur de toute chambre de Boucksom-Zariski, la partie divisorielle du lieu base augmenté des diviseurs big reste la même. Après avoir analysé le cône big, nous déterminons la structure du cône pseudo-effectif de X, généralisant ainsi un résultat bien connu de Kovács pour les surfaces K3. En particulier, nous montrons que si le nombre de Picard de X est au moins 3, le cône pseudo-effectif de X est soit circulaire, soit ne contient pas de parties circulaires et est égal à la clôture du cône engendré par les classes des diviseurs premiers exceptionnels. De ce résultat en géométrie convexe, nous déduisons quelques propriétés géométriques de X et nous montrons l'existence de diviseurs rigides uniréglés sur certaines variétés symplectiques singulières. Nous étudions le comportement des lieux de base asymptotiques des diviseurs big sur X et nous en donnons une caractérisation numérique. En conséquence de cette caractérisation numérique, nous obtenons une description des duaux des cônes mathrm{Amp}_k(X), pour tout 1leq k leq 2n, où mathrm{Amp}_k(X) est le cône convexe des classes des diviseurs big ayant le lieu base augmenté de dimension strictement plus petite que k. En utilisant la décomposition divisorielle de Zariski, la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) et la décomposition du cône big de X en chambres de Boucksom-Zariski, nous associons à toute classe de diviseurs big alpha et à un diviseur premier E sur X un polygone Delta_E(alpha), dont la géométrie est liée à la variation de la décomposition divisorielle de alpha dans le cône big de X. Le volume euclidien est exprimé en termes de la forme BBF et est indépendant du choix de E. Nous montrons que ces polygones s'inscrivent dans un cône convexe Delta_E(X) sous forme de tranches, globalisant ainsi la construction. En conclusion, nous montrons que sous certaines hypothèses, les polygones Delta_E(alpha) peuvent être écrits comme une somme de Minkowski de certains polygones {Delta_E(Beta_i)}_{iin I}, pour certaines classes big {Beta_i}_{i in I}. Il est remarquable que ces polygones se comportent comme les corps de Newton-Okounkov des diviseurs big sur les surfaces projectives lisses.

In this thesis, we study some aspects of the positivity of divisors on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds. Fix a projective IHS manifold X of complex dimension 2n. Inspired by the work of Bauer, Küronya, and Szemberg, we show that the big cone of X has a locally finite decomposition into locally rational polyhedral subcones, called Boucksom-Zariski chambers. These subcones have a geometric meaning: on any of them, the volume function is expressed by a homogeneous polynomial of degree 2n. Furthermore, in the interior of any Boucksom-Zariski chamber, the divisorial part of the augmented base locus of big divisors stays the same. After analyzing the big cone, we determine the structure of the pseudo-effective cone of X, generalizing a well-known result due to Kovács for K3 surfaces. In particular, we show that if the Picard number of X is at least 3, the pseudo-effective cone either is circular or does not contain circular parts and is equal to the closure of the cone generated by the prime exceptional divisor classes. From this result in convex geometry, we deduce some geometric properties of X and show the existence of rigid uniruled divisors on some singular symplectic varieties. We study the behaviour of the asymptotic base loci of big divisors on X, and we provide a numerical characterization for them. As a consequence of this numerical characterization, we obtain a description for the dual of the cones mathrm{Amp}_k(X), for any 1leq k leq 2n, where mathrm{Amp}_k(X) is the convex cone of big divisor classes having the augmented base locus of dimension strictly smaller than k. Using the divisorial Zariski decomposition, the Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) form, and the decomposition of the big cone of X into Boucksom-Zariski chambers, we associate to any big divisor class alpha and a prime divisor E on X a polygon Delta_E(alpha) whose geometry is related to the variation of the divisorial Zariski decomposition of alpha in the big cone. Its euclidean volume is expressed in terms of the BBF form and is independent of the choice of E. We show that these polygons fit in a convex cone Delta_E(X) as slices, globalizing in this way the construction. To conclude, we show that under some hypothesis, the polygons Delta_E(alpha) can be expressed as a Minkowski sum of some polygons {Delta_E(Beta_i)}_{i in I}, for some big classes {Beta_i}_{_ iin I}. Remarkably, these polygons behave like the Newton-Okounkov bodies of big divisors on smooth projective surfaces.