Théorie spectrale et théorie de la diffusion pour des opérateurs non-auto-adjoints

Spectral theory and scattering theory for non-self-adjoint operators

• Auteur / Autrice : Nicolas Frantz
• Direction : Jérémy Faupin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz) - Institut Élie Cartan de Lorraine (2013-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Clotilde Fermanian-Kammerer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémy Faupin, Vincent Bruneau, Julien Royer, Julien Lequeurre, Angela Pasquale, Michal Wrochna
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vincent Bruneau, Julien Royer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie quantique

Physique mathématique

Diffusion (physique)

Espaces de Hilbert

Schrödinger, Opérateur de

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie spectrale

Théorie de la diffusion

Opérateurs non auto-adjoints

Physique mathématique

Mécanique quantique

Spectral Theory

Scattering Theory

Non self-Adjoint operators

Mathematical Physics

Quantum Mechanics

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons un opérateur non-auto-adjoint sur un espace de Hilbert de la forme «H=H_0+CWC», où «H_0» est auto-adjoint, «W» est un opérateur borné et «C» est un opérateur relativement compact par rapport à «H_0». De plus on suppose que «C» est un opérateur positif et injectif tel que «CRes_0(z)C» est uniformément borné pour «zinCbackslashR». Nous définissons les singularités spectrales de «H» comme l'ensemble des «lambdainsigma_mathrm{ess}(H_0)» du spectre de «H» tel que «CRes_H(lambdapm i0^+)CW» n'a pas de limite quand «varepsilonrightarrow 0^+». D'abord nous étudions la structure spectrale de ce modèle. Nous prouvons que les singularités spectrales de «H» sont en bijection avec les valeurs propres, associées à des états résonants, d'une extension de «H» à un espace de Hilbert plus gros. Ensuite nous montrons que les états qui disparaissent à l'infini pour «H», c'est à dire l'ensemble des vecteurs «varphi» tels que «e^{pm itH}varphito 0» quand «trightarrowinfty», coïncident avec l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs propres généralisés de «H» associés à des valeurs propres «lambdainmathbb{C}», «mpmathrm{Im}(lambda)>0». Finalement, nous définissons le sous-espace spectral absolument continu de «H» et montrons qu'il satisfait l'égalité «Hi_{mathrm{ac}}(H)=Hi_{mathrm{p}}(H^star)^perp», où «Hi_{mathrm{p}}(H^star)» est le spectre ponctuel de «H^star». Ainsi nous obtenons une décomposition en somme direct de l'espace de Hilbert en terme de sous-espace spectraux de «H». Ensuite nous étudions le comportement asymptotique des états «e^{pm itH}varphi» du système au temps «t» à l'aide de la théorie de la diffusion. Nous définissons les opérateurs d'onde associés à «H» et «H_0» par «W_pm(H,H_0):=displaystyleslim_{trightarrowinfty} e^{pm itH}r_mp(H)Pi_mathrm{p}(H^star)^perp e^{mp itH_0}», où «Pi_mathrm{p}(H^star)» est la projection sur «Hi_mathrm{p}(H^star)» et «r_mp» est une fonction rationnelle régularisant les singularités spectrales entrantes/sortantes de «H». Nous prouvons l'existence de ces opérateurs d'onde régularisés et étudions leurs propriétés. En particulier, nous montrons qu'ils sont asymptotiquement complets si «H» n'a pas de singularités spectrales. Enfin, nous construisons des solutions de l'équation de Schrödinger abstraite associée à «H» dans le cas où la perturbation «CWC» n'est plus bornée. Nos résultats s'appliquent à des opérateurs de Schrödinger avec des potentiels à valeurs complexes.

In this thesis, we consider non-self-adjoint operators in Hilbert spaces of the form «H=H_0+CWC», where «H_0» is self-adjoint, «W» is bounded and «C» is bounded and relatively compact with respect to «H_0». We suppose that «C» is a metric operator and that «C(H_0-z)^{-1}C» is uniformly bounded in «zinmathbb{C}setminusmathbb{R}». We define the spectral singularities of «H» as the points of the essential spectrum «lambdainsigma_{mathrm{ess}}(H)» such that «C(H-lambdapm ivarepsilon)^{-1}CW» does not have a limit as «varepsilonto0^+». First we study the spectral structure of this model. We prove that the spectral singularities of «H» are in one-to-one correspondence with the eigenvalues, associated to resonant states, of an extension of «H» to a larger Hilbert space. Next, we show that the asymptotically disappearing states for «H», i.e. the set of vectors «varphi» such that «e^{pm itH}varphito0» as «ttoinfty», coincide with the generalized eigenstates of «H» corresponding to eigenvalues «lambdainmathbb{C}», «mpmathrm{Im}(lambda)>0». Finally, we define the absolutely continuous spectral subspace of «H» and show that it satisfies «Hi_{mathrm{ac}}(H)=Hi_{mathrm{p}}(H^star)^perp», where «Hi_{mathrm{p}}(H^star)» stands for the point spectrum of «H^star». We thus obtain a direct sum decomposition of the Hilbert spaces in terms of spectral subspaces of «H». Next we study the asymptotic behavior of «e^{pm itH}varphi» as «t» to «infty» through scattering theory. We define the regularized wave operators associated to «H» and «H_0» by «W_pm(H,H_0):=displaystyleslim_{trightarrowinfty} e^{pm itH}r_mp(H)Pi_mathrm{p}(H^star)^perp e^{mp itH_0}» where «Pi_mathrm{p}(H^star)» is the projection onto «Hi_mathrm{p}(H^star)» and «r_mp» is a rational function that regularizes the `incoming/outgoing spectral singularities' of «H». We prove the existence and study the properties of the regularized wave operators. In particular we show that they are asymptotically complete if «H» does not have any spectral singularity. Finally we construct solutions to the abstract Schrödinger equation associated to «H» in the case where the non-self-adjoint perturbation «CWC» is unbounded. Our results apply to Schrödinger operators with complex potentials.