États fondamentaux dans l'approximation quasi-classique pour des modèles d'électrodynamique quantique non relativiste

Ground states in the quasi-classical approximation for non-relativistic quantum electrodynamics models

• Auteur / Autrice : Jimmy Payet
• Direction : Jérémy Faupin, Sébastien Breteaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/05/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Thomann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémy Faupin, Sébastien Breteaux, Simona Rota Nodari, Phan Thành Nam, Michele Correggi, Lisette Jager
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Simona Rota Nodari, Phan Thành Nam

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Physique mathématique

Théorie quantique des champs

Analyse fonctionnelle non linéaire

Calcul des variations

Mots clés libres

Calcul variationnel

Analyse non linéaire

Théorie quantique des champs

Physique Mathématique

Théorie spectrale

Limite quasi-Classique

Calculus of Variations

Non-Linear Analysis

Quantum Field Theory

Mathematical Physics

Spectral Theory

Quasi-Classical Limit

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à des modèles de théorie quantique des champs décrivant les interactions entre une particule non relativiste et un champ de radiation quantifié. En particulier, on s'intéresse à la minimisation de l'énergie quasi-classique des modèles considérés, c'est-à-dire l'énergie du système lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Un premier résultat concerne le modèle spin-boson, c'est un modèle simple (mais non trivial) où la particule non relativiste est décrite par un système de dimension finie et est couplée linéairement à un champ quantifié scalaire. On obtient pour ce modèle une expression explicite de l'énergie fondamentale quasi-classique et de l'ensemble des minimiseurs, pour toute valeur de la constante de couplage. On montre également que l'ensemble des minimiseurs est trivial si la constante de couplage est inférieure à une valeur critique. D'autre part, on obtient l'existence d'un état fondamental pour l'énergie lorsque le champ se trouve dans une superposition de deux états cohérents. On considère ensuite des modèles pour lesquels la particule non relativiste est décrite par un opérateur de Schrödinger. Dans le cas où le couplage entre la particule et le champ est linéaire en les opérateurs de création et d'annihilation (modèle de Nelson, modèle du Polaron), on montre l'existence et l'unicité d'un état fondamental quasi-classique associé à l'énergie quasi-classique, à symétrie de phase près. On suppose le potentiel extérieur confinant ou liant et nous n'imposons pas de troncature ultraviolette dans la définition de la fonctionnelle d'énergie. Nous obtenons ensuite un développement asymptotique de l'énergie fondamentale quasi-classique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0. Enfin, en faisant dépendre l'énergie du paramètre ultraviolet, on montre que les états fondamentaux, ainsi que les énergies fondamentales associées convergent dans la limite ultraviolette. Dans le cas du modèle standard de l'électrodynamique quantique non relativiste, sous des hypothèses similaires, on montre l'existence d'un état fondamental quasi-classique. Nous obtenons aussi un développement asymptotique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0 et la convergence dans la limite ultraviolette de l'énergie fondamentale.

In this thesis, we study quantum field theory models that describe the interactions between a non-relativistic particle and a quantized radiation field. In particular, we focus on the minimization of the quasi-classical energy of the considered models, i.e. the energy of the system when the field is in a coherent state. A first result concerns the Spin-boson model. It is a simple (but non-trivial) model where the non-relativistic particle is described by a finite dimensional system and is linearly coupled to a quantized scalar field. We obtain an explicit expression for the quasi-classical ground state energy and the set of minimizers for this model, for any values of the coupling constant. We also prove that the set of minimizers is trivial when the coupling constant is below a critical value. We also obtain the existence of a ground state for the energy when the field is in a superposition of two coherent states.Next, we consider models where the non-relativistic particle is described by a Schrödinger operator. In the case where the coupling between the particle and the field is linear in the creation and annihilation operators (Nelson model, polaron model for instance), we show the existence and uniqueness of a quasi-classical ground state associated with the quasi-classical energy, up to a phase symmetry. We consider a general external potential, either bindind or confining, and do not impose an ultraviolet cutoff in the definition of the energy functional. Then, we obtain an asymptotic expansion of the quasi-classical ground state energy as the coupling parameter goes to 0. Finally, by making the energy depend on the ultraviolet parameter, we prove that the ground states and associated ground state energies converge in the ultraviolet limit. In the case of the standard model of non-relativistic quantum electrodynamics with a spin, under similar assumptions, we show the existence of a quasi-classical ground state. We also obtain an asymptotic expansion as the coupling parameter tends to 0 and the convergence of the ground state energies in the ultraviolet limit.