Systèmes d’EDSR réfléchies généralisées, systèmes d’EDP à réflections obliques et conditions de type Neumann-Dirichlet, Switching optimal et EDS réfléchies dans des domaines convexes dépendant du temps

Systems of Reflected Generalized BSDEs, Systems of PDEs with oblique reflection and Neumann-Dirichlet type conditions, Optimal Switching and reflected SDEs in time-dependent convex domains

• Auteur / Autrice : Manal Jakani
• Direction : Saïd Hamadène, Brahim Boufoussi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/06/2023
• Etablissement(s) : Le Mans en cotutelle avec Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies du numérique, de l’Information et de la Communication (Nantes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire manceau de mathématiques
• Jury : Président / Présidente : El Hassan Essaky
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Miryana Grigorova, Anis Matoussi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Idris Kharroubi, Kaj Nyström, Youssef Ouknine

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commutation, Théorie de la

Équations aux dérivées partielles

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Mots clés libres

Systèmes d'EDSR réfléchies généralisées

Systèmes d'EDP avec conditions aux bord

Problem de switching optimal

Obstacles interconnectés

EDS réfléchies dans des domaines

Conditions de type Neumann-Dirichlet

Domaines dépendants du temps

Approximations d'EDS réfléchies

Systems of Reflected Generalized BSDEs

Systems of PDEs with boundary conditions

Optimal switching

Interconnected obstacles

Reflected SDEs in domains

Neumann-Dirichlet boundary conditions

Time-dependent domains

Approximation of reflected SDEs

Résumé

Cette thèse porte sur les équations différentielles stochastiques ordinaires et rétrogrades (EDS et EDSR) et leurs applications dans les problèmes de switching optimal et dans les équations aux dérivées partielles (EDP). Une partie est aussi consacrée aux EDS réfléchies dans des domaines dépendant du temps. Le premier travail porte sur l’étude d’un système d’EDP de type Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associé à un problème de switching optimal stochastique où l’aléa provient d’un processus stochastique solution d’EDS réfléchie dans un domaine borné. Considérer des processus réfléchis de ce type, et non des processus standard, permet de tenir compte de contraintes économiques comme par exemple le fait de maintenir le niveau d’un barrage, dans la production d’électricité hydrique, entre deux seuils pour des raisons de sécurité d’une part et opérationnelles d’autre part. Un autre exemple est celui des taux d’intérêt de banques centrales qui doivent être maintenus dans une plage spécifique et appropriée de sorte à freiner l’inflation et, d’autre part, à favoriser la croissance économique. Naturellement, tenir compte de ces contraintes engendre des coûts. Le système d’EDP dont il s’agit est à obstacles interconnectés avec des conditions aux bord de type Neumann-Dirichlet. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution au sens de viscosité de ce système. La preuve est basée sur l’étude du système d’EDSR généralisées réfléchies à obstacles interconnectés pour lequel on montre l'existence et l'unicité de la solution. Le second travail est une extension du premier au sens où nous traitons le problème du min-max (ou max-min). Ce système est de type Bellman-Issac associé à un jeu de somme nulle de switching stochastique. Principalement, à l’aide des systèmes d’EDSR généralisées réfléchies combinés à la méthode de Perron, nous montrons l’existence et l’unicité de la solution au sens viscosité de ce système d'EDP. Dans la troisième partie, nous considérons de nouveau le système d’EDSR généralisées réfléchies à obstacles interconnectés (avec aussi des améliorations substantielles) mais cette fois-ci le processus d'état est obliquement réfléchi dans un domaine qui évolue avec le temps et non fixé comme c’est le cas dans la première partie. Ensuite, nous nous intéressons à la question d’existence et d’unicité de la solution du system HJB, qui est dans ce cas un système d'EDP avec obstacles interconnectés et conditions de type Neumann-Dirichlet aux bord du domaine dépendant du temps. Ainsi, on obtient l'existence et l'unicité de la solution au sens de viscosité. Le fait que la contrainte sur ce processus bouge avec le temps pose de sérieux problèmes. Et alors des questions de ce même processus se posent, dans la dernière partie on regarde les EDS normalement réfléchies dans des domaines convexes dépendants du temps. On obtient une approximation par des EDS ordinaires de cette EDS réfléchie. Comme application, on obtient l'approximation par des EDP ordinaires d'EDP avec conditions aux bord de type Neumann-Dirichlet définies sur des domaines dépendants du temps.

This thesis deals with ordinary and backward stochastic differential equations (SDEs and BSDEs) and their connections with optimal switching problems and partial differential equations (PDEs). A part of it, is also devoted to reflected SDEs in time-dependent domains. First, we study the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) system of equations associated with stochastic optimal switching problem when randomness stems from a stochastic process which is solution of a reflected SDE in a bounded domain. This type of diffusions takes into account the economic constraints such as the need to maintain the level of a dam, in the production of hydroelectricity, between two thresholds for safety reasons on the one hand and operational reasons on the other hand. Another example is related to interest rates that a central bank should keep within a specific and appropriate domain in order to prevent from inflation on the one hand and to promote economic growth on the other. Naturally, these constraints generate costs. The (HJB) in this case is a system of variational inequalities with interconnected obstacles and Neumann-Dirichlet boundary conditions that we solve in the viscosity sense. We show existence and uniqueness of the solution based on the study of the system of reflected generalized BSDEs with interconnected obstacles. The second part is an extension of the first in the sense that we deal with the min-max (or max-min) problem. This system is the Bellman-Issac system associated with a zero-sum stochastic game. The existence and uniqueness of the solution in the viscosity sense of this PDE system is obtained mainly using reflected generalized BSDE systems combined with Perron's method. In the third part, we consider again a system of reflected generalized BSDEs with interconnected obstacles in a more general framework. Moreover, the state process is assumed here to be obliquely reflected in a domain that varies over time and is not fixed anymore. Then, the HJB system in this case is a PDE system with interconnected obstacles and Neumann-Dirichlet boundary conditions on time-dependent domain for which we obtain a unique viscosity solution. Finally, we focus on normally reflected SDEs in time-dependent domains with convex time-sections. We provide an approximation by standard SDEs for this reflected SDE. As an application, we obtain an approximation by standard PDEs for PDEs with nonlinear Neumann-Dirichlet boundary conditions on time-dependent domains.