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Thèse soutenue

Renormalisation par le groupe de renormalisation des théories sans invariance euclidienne

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Auteur / Autrice : Majdouline Borji
Direction : Christoph Kopper
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance le 24/10/2023
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Physique Théorique (Palaiseau ; 1958-....) - Centre de Physique Théorique [Palaiseau] / CPHT
Jury : Président / Présidente : Manfred Salmhofer
Examinateurs / Examinatrices : Christoph Kopper, Stefan Hollands, Vyacheslav Rychkov, Riccardo Guida, Hans-Werner Diehl, Cédric Lorcé
Rapporteur / Rapporteuse : Stefan Hollands, Vyacheslav Rychkov

Résumé

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L’objectif de cette thèse est de comprendre comment la renormalisation est affectée par la brisure de la symétrie de translation. Dans le contexte de cette thèse, nous nous intéressons principalement aux deux exemples de la théorie scalaire dans R4 régularisée par un réseau et celui de la théorie scalaire dans le demi-espace R+ x R3 euclidien appelée modèle semi-infini. Ces deux projets sont indépendants l'un de l'autre. Nous considérons en premier le modèle semi-infini en établissant une preuve rigoureuse de la renormalisation de cette théorie en se basant sur les équations de flot. D'un point de vue théorie de champ, ce problème a été étudié pour la première fois en 1981 en inspectant les divergences des graphes de Feynman à une et deux boucles. Le problème à un nombre arbitraire de boucles est resté longtemps ouvert. Dans cette thèse, nous avons résolu le problème de renormalisation perturbative de cette théorie à tous les ordres en perturbation. La difficulté de ce problème réside dans la brisure de l’invariance par translation par la surface bord du demi-espace qui nécessite de procéder dans l'espace des positions. Cela a pour conséquence que les fonctions de corrélation du système sont des distributions. Dans le cas d’un demi-espace, il existe plusieurs extensions autoadjointes du Laplacien et chacune définit une condition au bord physique ainsi qu'une théorie quantique de champ indépendante. Ces conditions aux bords pour le modèle semi-infinie sont du type Dirichlet, Neumann et Robin. Le support des mesures gaussiennes associées aux différents propagateurs Dirichlet, Neumann et Robin est singulier, dans le sens qu’il contient des distributions, pour lesquelles le produit au même point n’est pas défini. Par conséquent, une régularisation par coupure ultraviolette est nécessaire. Celle-ci agit sur le support des mesures gaussiennes en le réduisant à des fonctions indéfiniment dérivables. Ainsi, il devient possible d'introduire l’auto-interaction dollarphi^4dollar. La mesure gaussienne combinée à l'interaction permet de définir l'action effective par l'intégrale de chemin. Les propriétés de dérivation de la mesure gaussienne impliquent par la suite l'équation de flot. Une série formelle en nombre de boucles permet de déduire l’équation de flot vérifiée par les “fonctions” de corrélation régularisées. Comme l’invariance par translation est brisée par la surface, les “fonctions” de corrélation dans ce cas sont des distributions. Nous introduisons une classe de fonctions tests sur lesquelles ces distributions agissent et nous bornons uniformément ces distributions par rapport à la coupure ultraviolette, en fixant dans un premier moment des conditions de renormalisation BPHZ. Cela a pour conséquence que les contre-termes sont des fonctions qui dépendent de la position dans le demi-espace. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude détaillée des contre-termes. Nous établissons qu'il est possible de choisir ordre par ordre des conditions de renormalisation pour lesquelles les contre-termes sont des constantes. En outre, ces contre-termes sont donnés par ceux de la théorie invariante par translation et deux contre-termes surface proportionnels à dollarint_S phi^2dollar et dollarint_Sphipartial_nphidollar dans le cas de conditions aux bords du type Robin et Neumann. Pour Dirichlet, les contre-termes usuels de la théorie invariante par translation sont suffisants pour rendre la théorie finie. La dernière partie de cette thèse est dédiée à l'étude de la théorie scalaire massive dollarphi^4dollar régularisée par réseau. Nous démontrons qu'elle est renormalisable, et que les symétries euclidiennes sont restorées dans la limite du continu.