Cadre mathématique pour la modélisation et la simulation de tissus biologiques perfusés

Mathematical framework for biological tissue perfusion modeling and simulation

• Auteur / Autrice : Mathieu Barré
• Direction : Philippe Moireau, Céline Grandmont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 02/10/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Equipe M3DISIM - Mathematical and Mechanical Modeling with Data Interaction in Simulations for Medicine
• Jury : Président / Présidente : Erik Burman
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Moireau, Céline Grandmont, Marie Rognes, Alexandre Ern, Eliane Bécache, Franz Chouly
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marie Rognes, Alexandre Ern

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matériaux poreux

Mots clés libres

Poromécanique

Caractère bien posé

Analyse numérique

Limite incompressible

T-Coercivité

Schéma à pas fractionnaire

Poromechanics

Well-Posedness

Numerical analysis

Incompressible limit

T-Coercivity

Fractional-Step method

Résumé

De nombreux tissus biologiques peuvent être modélisés comme des milieux poreux, c'est-à-dire des milieux continus composés d'une structure solide irriguée par un fluide. Dans les tissus biologiques, le fluide peut désigner le sang, les flux d'air dans les poumons ou encore le liquide céphalo-rachidien, fluides qui peuvent tous être considérés comme incompressibles. De plus, pour de telles applications, le milieu poreux en tant que tel est quasi-incompressible. L'objectif de cette thèse est d'analyser un modèle d'équations aux dérivées partielles récent qui décrit le mouvement d'un milieu poreux quasi-incompressible ou incompressible. Ce modèle provient de la linéarisation d'un modèle de poromécanique non linéaire adapté au contexte des tissus mous perfusés, mais il est également fortement relié aux équations de Biot en poroélasticité. Dans ce modèle, les équations du solide et du fluide ont un comportement respectivement hyperbolique et parabolique, et sont couplées par la pression interstitielle associée à la contrainte d'incompressibilité. La première contribution de cette thèse est de démontrer l'existence et l'unicité des solutions fortes ou faibles dans les cas quasi-incompressible et incompressible. La preuve repose sur une combinaison de théorie des semi-groupes, d'estimations d'énergie et fait appel à la notion de T-coercivité. Cette notion, développée originellement pour les problèmes non contraints, est ici étendue aux problèmes de type point-selle avec ou sans pénalisation. Le concept de T-coercivité s'avère également utile pour la conception d'éléments finis stables dans la limite incompressible et pour l'analyse numérique du système. La convergence spatiale et temporelle d'un schéma monolithique est prouvée, avec des estimations d'erreur robustes par rapport à l'incompressibilité, la porosité et la perméabilité. Afin d'accélérer le temps de calcul, un schéma à pas fractionnaires est proposé et analysé. En particulier, des conditions aux limites générales couplant le fluide et le solide sur le bord du domaine sont envisagées et imposées grâce à une méthode de type Robin-Robin. Enfin, la pertinence de ce modèle pour les applications biomédicales est illustrée en comparant des simulations de microvaisseaux sur puce à des données expérimentales.

Many biological tissues can be modeled as porous media, namely continuous media composed of a solid skeleton filled by a fluid. In biological tissues, the fluid at stake can be blood, airflows in the lungs or cerebrospinal fluid, all of which can be seen as incompressible fluids. Moreover, in such applications, the porous medium itself can be considered as nearly-incompressible. The goal of this PhD thesis is to analyze a recent partial differential equation model describing the motion of a nearly-incompressible or incompressible porous medium. This model arises from the linearization of a non-linear poromechanics model adapted to soft tissue perfusion, but is also strongly connected to Biot's equations of poroelasticity. In this model, the solid and fluid equations show a hyperbolic/parabolic behavior, and are in addition coupled through the interstitial pressure associated with the incompressibility divergence constraint. The first contribution of this thesis is to show the existence and uniqueness of strong and weak solutions in the nearly-incompressible and incompressible cases. This is achieved by combining semigroup theory, energy estimates and T-coercivity. T-coercivity theory, originally developed for unconstrained problems, is extended here to treat general saddle-point and perturbed saddle-point problems. This concept also appears to be useful for the design of stable finite elements in the incompressible limit and for the numerical analysis of the system. Spatial and temporal convergence analysis are performed for a monolithic scheme, leading to robust error estimates with respect to incompressibility, porosity and permeability. In order to improve computational efficiency, a fractional-step method is proposed and analyzed. In particular, general boundary conditions connecting the fluid and the solid on the boundary are considered and imposed thanks to a Robin-Robin coupling method. Finally, the relevance of the model to biomedical applications is illustrated by comparing microvessels-on-chip simulations with experimental data.