Analyse numérique et méthodes pour les problèmes d'optimisation de type champ moyen

Numerical analysis and methods for mean-field-type optimization problems

• Auteur / Autrice : Kang Liu
• Direction : Laurent Pfeiffer, Frédéric Bonnans
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/10/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Grégoire Allaire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Pfeiffer, Frédéric Bonnans, Filippo Santambrogio, Fabio Camilli, Nadia Oudjane, Hasnaa Zidani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Filippo Santambrogio, Fabio Camilli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fokker-Planck, Équation de

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Commande optimale

Champ moyen

Equation de Fokker-Planck

Algorithme de Frank-Wolfe

Schémas de différences finies

Optimal control

Mean fields

Fokker-Planck equation

Frank-Wolfe algorithm

Finite difference scheme

Résumé

Cette thèse traite de l'analyse numérique et des méthodes pour les problèmes d'optimisation et les jeux potentiels impliquant un grand nombre d'agents. Nous considérons des modèles asymptotiques obtenus par une approximation de champ moyen; ils présentent des propriétés de convexité d'un grand intérêt. Nous nous concentrons sur les problèmes d'optimisation agrégative de grande dimension, pour lesquels la fonction coût dépend d'un terme d'agrégat, qui est la somme des contributions des agents à un bien commun. Nous nous concentrons également sur des modèles potentiels de jeux à champ moyen (MFG), qui sont des modèles asymptotiques pour les jeux différentiels. La thèse comporte quatre contributions.1) Nous proposons une relaxation de type champ moyen pour les problèmes d'optimisation agrégative, obtenue par randomisation. Une estimation d'ordre O(1/N) du saut de relaxation est démontrée, où N représente le nombre d'individus. Nous développons et prouvons la convergence d'une variante stochastique de l'algorithme de Frank-Wolfe, appelée algorithme SFW, pour résoudre le problème agrégatif original.2) Nous formulons une classe générale de problèmes d'optimisation impliquant un ensemble de distributions de probabilités avec une marginale prescrite, égale à m. Nous les appelons problèmes d'optimisation à champ moyen (MFO). Notre cadre contient les problèmes agrégatifs relaxés ainsi que certains MFGs potentiels en formulation lagrangienne. Nous démontrons un résultat de stabilité par rapport à une perturbation de m. Nous en déduisons une estimation d'erreur pour une méthode numérique reposant sur une discrétisation de m et l'algorithme SFW.3) Nous introduisons un nouveau schéma de différences finies, appelé thêta-schéma, pour résoudre les MFG monotones du second ordre. Nous donnons un résultat de convergence précis pour le thêta-schéma, d'ordre O(h^r), où h est le pas de discrétisation en espace et 0<r<1 est lié à la continuité de Hölder de la solution du problème continu et de certaines de ses dérivées.4) Nous considérons la résolution de MFGs potentiels du second ordre avec l'algorithme de Frank-Wolfe généralisé, combiné avec le thêta-schéma. Nous prouvons des taux de convergence sous-linéaire et linéaire pour cet algorithme. Plus important encore, ces taux possèdent la propriété d'indépendance au maillage, c'est-à-dire que les constantes de convergence sont indépendantes des paramètres de discrétisation.

This thesis deals with the numerical analysis and methods for optimization problems and potential games involving a large number of agents. We consider asymptotic models obtained through a mean-field approximation; they exhibit convexity properties of great interest. We focus on large-scale aggregative optimization problems, for which the objective function depends on an aggregate term, which is the sum of the contributions of the agents to some common good. We also focus on potential Mean Field Game (MFG) models, which are limit models for differential games. The thesis consists of four contributions.1) We propose a mean-field relaxation for aggregative optimization problems, obtained by randomization. The relaxation gap is estimated to be of order O(1/N), where N represents the number of individuals. We develop and prove the convergence of a stochastic variant of the Frank-Wolfe algorithm, called SFW algorithm, to address the original aggregative problem.2) We formulate a general class of optimization problems involving a set of probability distributions with a prescribed marginal m. We call them Mean Field Optimization (MFO) problems. Our framework contains the relaxed aggregative problems as well as some Lagrangian potential MFGs. We demonstrate a stability result with respect to perturbations of m. It enables us to derive an error estimate for a numerical method relying on a discretization of m and the SFW algorithm.3) We introduce a novel finite-difference scheme, called theta-scheme, for solving monotone second-order MFGs. We give a precise convergence result for the theta-scheme, of order O(h^r), where h is the step length of the space variable and 0<r<1 is related to the Hölder continuity of the solution of the continuous problem and some of its derivatives.4) We consider the resolution of potential second-order MFGs with the generalized Frank-Wolfe algorithm, combined with the theta-scheme. We prove a sublinear and a linear rate of convergence for this algorithm. More importantly, these rates possess the mesh-independence property, i.e., the convergence constants are independent of the discretization parameters.