Problèmes de diffusion inverse sans information de phase

Inverse scattering problems without phase information

• Auteur / Autrice : Vladimir Sivkin
• Direction : Roman Novikov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/10/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....) - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Antonin Chambolle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Roman Novikov, Michael Victor Klibanov, Dimitri Yafaev, Ozan Öktem, Anne de Bouard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michael Victor Klibanov, Dimitri Yafaev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Transformations de

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

L'équation de Schrodinger

Transformation de Fourier

Diffusion inverse sans information de phase

Diffuseurs de fond

Formules multipoints

Implémentations numériques

Schrodinger equation

Fourier transform

Phaseless inverse scattering

Background scatterers

Multipoint formulas

Numerical implementations

Résumé

Cette thèse est consacrée à différentes approches pour des problèmes de diffusion inverse sans phase. Nos études sont motivées par des problèmes de tomographies qui utilisent des particules élémentaires (par exemple, des électrons, des rayons X) comme outil de sondage. Dans ces tomographies, seules les valeurs absolues des données de diffusion sont mesurables. Dans le cadre de la mécanique quantique, cette limitation est liée au principe de Born selon lequel les valeurs complexes de la fonction d’onde n’ont pas d’interprétation physique directe, alors que ses valeurs absolues carrées admettent une interprétation probabiliste et peuvent être directement mesurées. Dans le cadre de l’optique (y compris la diffusion des rayons X), cette limitation est liée aux très hautes fréquences d’onde, qui ne permettent pas de mesurer directement la phase d’onde par les dispositifs techniques modernes. Nous contribuons à la diffusion inverse sans phase en développant la méthode des diffuseurs de fond et la méthode multipoint. La méthode des diffuseurs de fond utilise la diffusion en présence d’objets connus a priori. Par nos résultats, à cet égard, nous contribuons également au problème de récupération de phase pour la transformation de Fourier classique. La méthode multipoint consiste à trouver des termes dominants importants (non accessibles pour les mesures directes) dans le développement asymptotique d’une fonction à partir de plusieurs valeurs de cette fonction (accessibles pour les mesures directes). Pour les deux méthodes, nous donnons, en particulier, de nouvelles formules explicites pour divers problèmes de diffusion inverse en phase et sans information de phase. De plus, nous implémentons numériquement plusieurs de nos résultats théoriques. Dans ces implémentations, nous utilisons, en particulier, des techniques de régularisation anciennes et nouvelles. Nos algorithmes peuvent être appliqués, par exemple, à l’imagerie par rayons X et à la tomographie électronique.

This thesis is devoted to different approaches to phaseless inverse scattering problems. Our studies are motivated by problems of tomographies which use elementary particles (for example, electrons, X-ray photons) as probing tool. In these tomographies only the absolute values of scattering data are measurable.In the framework of quantum mechanics, this limitation is related to the Born principle that complex values of the wave function don’t have direct physical interpretation, whereas its absolute values squared admit probabilistic interpretation and can be directly measured. In the framework of optics (including X-ray scattering) this limitation is related to very high wave frequencies, which don’t allow to measure wave phase directly by modern technical devices.We contribute to phaseless inverse scattering by developing the method of background scatterers and the multipoint method.The method of background scatterers uses scattering in presence of a priori known objects. By our results, in this connection, we also contribute to the phase retrieval problem for the classical Fourier transform. The multipoint method consists in finding important leading terms (not accessible for direct measurements) in asymptotic expansion of a function from several values of this function (accessible for direct measurements).For both methods, we give, in particular, new explicit formulas for various phaseless and phased inverse scattering problems. In addition, we implement numerically many of our theoretical results. In these implementations we use, in particular, old and new regularisation technics.Our algorithms can be applied, for example, to X-ray imaging and to electron tomography.