Sur la géométrie à grande échelle des groupes semi-simples : annulation et non annulation de la cohomologie L^p des groupes archimédiens et non archimédiens
Auteur / Autrice : | Antonio López Neumann |
Direction : | Bertrand Rémy, Marc Bourdon |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques fondamentales |
Date : | Soutenance le 15/06/2023 |
Etablissement(s) : | Institut polytechnique de Paris |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau ; 1965-....) - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz |
Jury : | Président / Présidente : Romain Tessera |
Examinateurs / Examinatrices : Bertrand Rémy, Marc Bourdon, Roman Sauer, Mikael De La Salle, Pascale Harinck, Clara Löh | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Roman Sauer, Mikael De La Salle |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Cette thèse s'intéresse à des invariants de géométrie à grande échelle en théorie de Lie. On étudie notamment un invariant de nature cohomologique : la cohomologie L^p (où p>1), qui donne des invariants de quasi-isométrie dans divers contextes et généralise la cohomologie L^2. On s'intéresse à la calculer dans le cas des groupes semi-simples sur des corps locaux (archimédiens ou pas) et pour différents types d'immeubles. Ce manuscrit comporte quatre chapitres. Le premier introduit les concepts de théorie de Lie, cohomologie des groupes et cohomologie L^p nécessaires dans les chapitres suivants. Le deuxième reproduit la prépublication "Vanishing of the second L^p-cohomology group for most higher rank semisimple Lie groups". Le résultat principal est l'annulation de la cohomologie L^p en degré 2 pour la plupart des groupes semi-simples de rang au moins 3 sur des corps locaux. Le troisième reproduit la prépublication "Top degree l^p-homology and conformal dimension of buildings". On étudie l'homologie l^p en degré maximal des immeubles, sa relation avec d'autres invariants tels que la dimension cohomologique virtuelle des groupes de Coxeter et la dimension conforme des immeubles hyperboliques au sens de Gromov. Le quatrième reproduit l'article "Finitely presented simple groups and measure equivalence" où, à l'aide des nombres de Betti L^2 de groupes agissant sur des produits d'immeubles, on explicite une famille infinie de groupes simples de présentation finie non mesurablement équivalents.