Sur les propriétés ergodiques de flots sur les espaces de modules de surfaces plates et hyperboliques et leurs utilisations pour des problèmes de comptage

On ergodic properties of some flows on moduli spaces of flat and hyperbolic surfaces and their uses on counting problems

• Auteur / Autrice : Etienne Bonnafoux
• Direction : Carlos Matheus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz / CMLS
• Jury : Président / Présidente : Anton Zorich
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carlos Matheus, Jayadev Athreya, Valérie Berthé, Élise Goujard, Charles Favre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jayadev Athreya, Valérie Berthé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géodésie

Géométrie hyperbolique

Mots clés libres

Géométrie Hyperbolique

Tremblement de terre

Géodésique

Dynamique

Lien selle

Surface de translation

Hyperbolic geometry

Earthquake flow

Geodesic

Dynamic

Saddle connection

Translation surface

Résumé

Cette thèse présente deux résultats alliant des outils de la théorie ergodique et de la géométrie, hyperbolique pour le premier et plate pour le second. Motivé par le théorème ergodique de Mirzakhani donnant une asymptotique polynomial pour le nombre de géodésique simple et fermée sur une surface hyperbolique nous voulions mieux comprendre le comportement du flot du tremblement de terre. En effet, c’est son ergodicité que Mirzakhani utilise pour son théorème. L'idée est qu'une connaissance d'une vitesse de mélange pour le flot du tremblement de terre, pour une bonne classe d'observable, permettrait d'affiner le comptage de Mirzakhani par exemple avec un terme d'erreur. Notre premier résultat est un pas dans cette direction. Il borne la possible vitesse de mélange du tremblement de terre à une vitesse polynomiale dont le dégrée dépend de la topologie de la surface. Pour connaître précisément sa vitesse de mélange, une idée serait de regarder l'action du groupe spécial linéaire d'ordre 2, sur les surfaces plates. En effet, il existe un lien entre le flot du tremblement de terre et le flot du sous-groupe unipotent appelé flot horocyclique. Dans cette optique, nous nous sommes intéressés à affiner un résultat quadratique de paire de vecteurs d'holonomie de lien selle dont l'aire virtuelle est bornée par une constante donnée pour presque toute surface plate par rapport à une mesure naturelle appelée mesure de Masur-Veech. Une des clefs de voute de leurs résultat est un théorème ergodique dû à Névo. Nous avons approfondi ce résultat en donnant un terme d'erreur. Par ailleurs, nous discuterons d'un limme nécessaire pour l'étendre à une famille plus large de mesure.

This thesis presents two results combining tools from ergodic theory and geometry, hyperbolic for the first result and flat for the second. Motivated by Mirzakhani’s theorem giving a polynomial asymptotics for the number of simple and closed geodesics on a hyperbolic surface, we wanted to better understand the behavior of the earthquake flow. Indeed, it is its ergodicity that Mirzakhani uses for her theorem. The idea is that a knowledge of a mixing rate for the earthquake flow, for a good class of observables, would allow to refine Mirzakhani’s counting, with an error term for example. Our first result is a step in this direction. It bounds the possible mixing rate of the earthquake to a polynomial one whose degree depends on the surface topology. To know precisely its mixing speed, an idea would be to look at the action of the special linear group of order 2, on flat surfaces. Indeed, there is a link between the earthquake flow and the flow of the unipotent subgroup called horocyclic flow. In this perspective we interested ourselves in refining a result of Athreya, Fairchild and Masur, giving the quadratic count of holonomy vectors of pair of saddle connection whose virtual area is bounded by a given constant for almost any flat surface with respect to a natural measure called Masur-Veech measure. One of the key points of their result is an ergodic theorem due to Nevo. We have deepened this result by giving an error term. Finally we will discuss a lemma which allow to extend the result to a larger family of measures.