Contributions à l'analyse stochastique pour structures sans propriété de diffusion

Contributions to stochastic analysis for non-diffusive structures

• Auteur / Autrice : Christophe Vuong
• Direction : Laurent Decreusefond, Marc Glisse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/12/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....) - Laboratoire de Traitement et Communication de l'Information
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau, Essonne ; 1878-....)
• Jury : Président / Présidente : Laure Coutin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laure Coutin, Nicolas Privault, Raphaël Lachièze-Rey, Hélène Halconruy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Privault, Raphaël Lachièze-Rey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Malliavin, Calcul de

Processus stochastiques

Analyse stochastique

Mots clés libres

Calcul de Malliavin

Méthode de Stein

Variables aléatoires conditionnellement indépendantes

Mesure de Poisson

Théorème de Girsanov

Critère entropique

Equations différentielles stochastiques

Malliavin calculus

Stein's method

Conditionally independent random variables

Poisson measure

Girsanov's theorem

Entropic criterion

Stochastic differential equations

Résumé

Cette thèse a pour sujet l'étude de structures sans propriété de diffusion. Nous nous intéressons à deux classes de telles structures.Le premier sujet traite du calcul de Malliavin pour les variables aléatoires conditionnellement indépendantes qui est un cas de calcul de Malliavin discret. Il généralise aussi celui théorisé sur des produits dénombrables d'espaces de probabilité, pour les variables aléatoires indépendantes. Dans notre cas, l'intérêt d'un tel calcul est de venir compléter des résultats d'analyse stochastique avec des preuves d'inégalités fonctionnelles (inégalité de Poincaré, inégalité de McDiarmid) et de théorèmes limites. Une des applications phares est la détermination de la vitesse de convergence de théorèmes centraux limites via la méthode de Stein. En combinant le calcul de Malliavin avec la structure de Dirichlet sous-jacente aux variables aléatoires, nous obtenons une formule d'intégration par parties cruciale pour déterminer des bornes supérieures sur les vitesses de convergence. Nous montrons des théorèmes limites quantitatifs, dont un théorème de quatrième moment avec reste. En particulier, nous discutons d'une application à la normalité asymptotique du comptage de motifs dans des hypergraphes aléatoires échangeables.Le deuxième sujet étudie les fonctionnelles d'une mesure de Poisson en utilisant la notion d'inversibilité de transformations de cette mesure sur l'espace échantillon des mesures aléatoires. Nous utilisons l'identification de ces mesures et des processus ponctuels marqués associés. Les transformations inversibles sont obtenues via le théorème de Girsanov, en respectant l'absolue continuité par rapport à la mesure de référence. Il en résulte un critère entropique pour l'inversibilité des transformations. Enfin, nous faisons le lien avec les équations différentielles stochastiques dirigées par des mesures de Poisson.

This thesis is concerned with the study of non-diffusive structures. We focus on two classes of such structures.The first subject deals with Malliavin calculus for conditionally independent random variables, which is a special case of discrete Malliavin calculus. It also generalizes the calculus that has been developed for countable products of probability spaces, for independent random variables.In our case, the interest of such a calculus is to complement results in stochastic analysis with proofs of functional inequalities (Poincaré inequality, McDiarmid's inequality) and limit theorems. One of the main applications is the determination of the convergence rate of central limit theorems via the Stein method.By combining Malliavin calculus with the underlying Dirichlet structure of the random variables, we obtain an integration by parts formula which is key to the derivations of so-called Stein bounds of the rates of convergence. We show quantitative limit theorems, including a fourth moment theorem with remainder. In particular, we discuss an application to the asymptotic normality of motif counting in exchangeable random hypergraphs.The second subject studies functionals of a Poisson measure using the notion of invertibility of transformations of that measure on the sample space of random measures. We use the identification of these measures and the associated marked point processes. Invertible transformations are obtained via the Girsanov's theorem, respecting absolute continuity with respect to the reference measure. This results in an entropy criterion for the invertibility of transformations. Finally, we make the connection with stochastic differential equations driven by Poisson measures.