Thèse soutenue

Étude de deux problèmes de propagation d’ondes en milieu électromagnétique dispersif : 1) Stabilité en temps long dans un milieu de Drude-Lorentz; 2) Transmission entre une couche de metamateriau et un diélectrique.

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Auteur / Autrice : Luis Rosas Martinez
Direction : Patrick JolyMaxence Cassier
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 16/11/2023
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Paris ; Rocquencourt) - École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées
Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1970-....)
Jury : Président / Présidente : Karim Ramdani
Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Maxence Cassier, Yves Dermenjian, Julien Royer, Serge Nicaise, Anne-Sophie Bonnet-Bendhia
Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Dermenjian, Julien Royer

Résumé

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Cette thèse traite de deux problèmes indépendants liés aux phénomènes de propagation des ondes dans les milieux dispersifs. Dans la première partie, nous étudions le comportement en temps long des solutions des équations de Maxwell dans des milieux dissipatifs généralisés de Drude-Lorentz. Plus précisément, nous souhaitons quantifier les pertes dans de tels milieux à l'aide du taux de décroissance de l'énergie électromagnétique pour le problème de Cauchy correspondant. Cette première partie est elle-même composée de deux approches. La première, l'approche par fonctions de Lyapunov en fréquence, consiste à obtenir une inégalité différentielle (en temps) pour certaines fonctionnelles de la solution, les fonctions de Lyapunov L(k) où k désigne la fréquence spatiale. Les estimations de stabilité sont ensuite obtenues par l'intégration en temps de l'inégalité différentielle. En développant cette méthode, nous obtenons un résultat de stabilité polynomiale sous des hypothèses de dissipation fortes. La deuxième approche, l'approche modale, exploite les propriétés spectrales de l'opérateur hamiltonien apparaissant dans le problème de Cauchy. Cette dernière approche améliore la première en autorisant des hypothèses de dissipation faibles. Dans la deuxième partie du travail, nous nous intéressons au problème de transmission d'une couche de métamatériau de Drude non dissipatif dans un milieu diélectrique. Dans ce contexte, nous considérons les équations de Maxwell temporelles bidimensionnel en polarisation TM et nous les reformulons en une équation de Schrödinger dont le Hamiltonien, A, est un opérateur autoadjoint non borné. La transformation de Fourier nous permet de travailler avec des Hamiltoniens réduits A(k), k ∈ R. Enfin, nous nous intéressons au spectre ponctuel du Hamiltonien réduit qui est lié aux modes guidés du problème original. Cette étude débouche sur une relation de dispersion dont la difficulté réside dans son caractère hautement non linéaire par rapport au paramètre spectral. Nous prouvons l'existence d'une infinité dénombrable de branches de solutions pour la relation de dispersion : les courbes de dispersion. Nous donnons une analyse précise de ces courbes et mettons en lumière, notamment, l'existence d'ondes guidées correspondant à des palsmons surface.