Étude de deux problèmes de propagation d’ondes en milieu électromagnétique dispersif : 1) Stabilité en temps long dans un milieu de Drude-Lorentz; 2) Transmission entre une couche de metamateriau et un diélectrique.

Study of two wave propagation problems in electromagnetic dispersive media : 1) Long-time stability analysis in Drude-Lorentz media; 2) Transmission between a slab of metamaterial on a dielectric.

• Auteur / Autrice : Luis Rosas Martinez
• Direction : Patrick Joly, Maxence Cassier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 16/11/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Paris ; Rocquencourt) - École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1741 -....)
• Jury : Président / Présidente : Karim Ramdani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Maxence Cassier, Yves Dermenjian, Julien Royer, Serge Nicaise, Anne-Sophie Bonnet-Bendhia
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Dermenjian, Julien Royer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Mots clés libres

Milieux dispersifs électromagnétiques

Stabilité en temps long

Fonctions de Lyapunov

Analyse spectrale

Relation de dispersion

Ondes guidées

Electromagnetic dispersive media

Long-Time stability

Lyapounov functions

Spectral analysis

Dispersion relation

Guided waves

Résumé

Cette thèse traite de deux problèmes indépendants liés aux phénomènes de propagation des ondes dans les milieux dispersifs. Dans la première partie, nous étudions le comportement en temps long des solutions des équations de Maxwell dans des milieux dissipatifs généralisés de Drude-Lorentz. Plus précisément, nous souhaitons quantifier les pertes dans de tels milieux à l'aide du taux de décroissance de l'énergie électromagnétique pour le problème de Cauchy correspondant. Cette première partie est elle-même composée de deux approches. La première, l'approche par fonctions de Lyapunov en fréquence, consiste à obtenir une inégalité différentielle (en temps) pour certaines fonctionnelles de la solution, les fonctions de Lyapunov L(k) où k désigne la fréquence spatiale. Les estimations de stabilité sont ensuite obtenues par l'intégration en temps de l'inégalité différentielle. En développant cette méthode, nous obtenons un résultat de stabilité polynomiale sous des hypothèses de dissipation fortes. La deuxième approche, l'approche modale, exploite les propriétés spectrales de l'opérateur hamiltonien apparaissant dans le problème de Cauchy. Cette dernière approche améliore la première en autorisant des hypothèses de dissipation faibles. Dans la deuxième partie du travail, nous nous intéressons au problème de transmission d'une couche de métamatériau de Drude non dissipatif dans un milieu diélectrique. Dans ce contexte, nous considérons les équations de Maxwell temporelles bidimensionnel en polarisation TM et nous les reformulons en une équation de Schrödinger dont le Hamiltonien, A, est un opérateur autoadjoint non borné. La transformation de Fourier nous permet de travailler avec des Hamiltoniens réduits A(k), k ∈ R. Enfin, nous nous intéressons au spectre ponctuel du Hamiltonien réduit qui est lié aux modes guidés du problème original. Cette étude débouche sur une relation de dispersion dont la difficulté réside dans son caractère hautement non linéaire par rapport au paramètre spectral. Nous prouvons l'existence d'une infinité dénombrable de branches de solutions pour la relation de dispersion : les courbes de dispersion. Nous donnons une analyse précise de ces courbes et mettons en lumière, notamment, l'existence d'ondes guidées correspondant à des palsmons surface.

This PhD thesis addresses two independent problems related to wave propagation phenomena in dispersive media. In the first part, we investigate the long-time behavior of solutions of Maxwell’s equations in dissipative generalized Drude-Lorentz media. More precisely, we wish to quantify the loss in such media in terms of the decay rate of the electromagnetic energy for the corresponding Cauchy problem. This first part is in turn composed by two approaches. The first one, namely, the frequency dependent Lyapunov approach, consists in deriving a differential inequality (in time) for certain functionals of the solution, the Lyapunov functions L(k), where k is the spatial frequency. The stability estimates are then obtained from the time integration of the differential inequality. By developing this method, we obtain a polynomial stability result under strong dissipative assumptions. The second approach, the modal approach, exploits the spectral properties of the Hamiltonian operator appearing in the Cauchy problem. This last approach ameliorates the first one by considering weak dissipation assumptions. In the second part of the work, we are interested in the transmission problem of a slab of non-dissipative Drude metamaterial within a dielectric. In this context, we consider the TM two dimensional time-dependent Maxwell’s equations and we reformulate it into a Schrödinger equation whose Hamiltonian, A, is a unbounded self-adjoint operator. Fourier transform allow us to work with the reduced Hamiltonians A(k), k ∈ R. Finally, we are interested in the point spectrum of the reduced Hamiltonian which is related to the guided modes of the original problem. This study leads to a diseprsion relation whose difficulty lies in its highly non-linear character with respect to the spectral parameter. We prove the existence of a countable infinity of solution branches for the dispersion relation: the so-called dispersion curves. We give a precise analysis of these curves and enlighten the existence of guided waves which correspond to surface plasmons.