Propagation des ondes dans les guides partiellement enfouis : résolution du problème direct et imagerie par méthode de type échantillonnage

Propagation of waves in partially buried guides : resolution of the forward problem and imaging with a sampling type method

• Auteur / Autrice : Jean-François Fritsch
• Direction : Laurent Bourgeois, Christophe Hazard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 20/06/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées - Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Paris ; Rocquencourt)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1741 -....)
• Jury : Président / Présidente : Hélène Barucq
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Bourgeois, Andreas Kirsch, Fabien Treyssède, Lucas Chesnel, Frédérique Le Louër, Arnaud Recoquillay
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Andreas Kirsch, Fabien Treyssède

Mots clés

Mots clés contrôlés

Thèses et écrits académiques -- Catalogage

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Interaction fluide-structure

Ondes élastiques

Problèmes inverses

Guides d'ondes

Mathématiques

Mots clés libres

Guide d'ondes ouvert

Jonction de guides

Interaction fluide-structure

Perfectly Matched Layers (PML)

Méthode de Kondratiev

Linear Sampling Method (LSM)

Open waveguides

Junction of waveguides

Fluid-Structure interaction

Perfectly Matched Layers (PML)

Kondratiev approach

Linear Sampling Method (LSM)

Résumé

Ce travail de thèse porte sur le contrôle non destructif de structures élancées partiellement enfouies ou immergées, par exemple un câble d'acier partiellement enfoui dans du béton ou une plaque d'acier partiellement immergée dans du sodium liquide. Ces structures peuvent être vues comme la jonction d'un guide fermé et d'un guide ouvert. Pour effectuer des calculs, nous avons tronqué transversalement la partie ouverte de la structure avec des PML finies. Un guide partiellement enfoui peut alors être traité comme la jonction de deux guides fermés, dont la propagation des ondes dans l'un des guides est régie par une équation impliquant des coefficients complexes liés à la présence des PML. Ce constat nous a amené à commencer par traiter dans un premier temps le cas plus simple de la jonction de deux guides acoustiques fermés. Pour ce cas simple, nous avons proposé une démarche de résolution du problème inverse adaptée aux jonctions de guides d'ondes fermés. Elle repose d'une part sur l'introduction des champs de référence, qui sont les réponses de la structure totale sans défaut à un mode provenant d'un des deux demi-guides, et d'autre part sur l'utilisation de la relation de réciprocité de la fonction de Green de la structure sans défaut. Suivant cette démarche, nous avons obtenu une formulation modale efficace de la LSM qui nous a permis d'identifier des défauts. Dans ce cas simple, nous avons tiré parti de la complétude des modes pour analyser les problèmes direct et inverse. Dans un second temps, nous avons traité le cas d'un guide acoustique partiellement enfoui. La perte de complétude des modes dans le demi-guide tronqué transversalement avec des PML nous a amenée à étudier le problème direct à l'aide de la théorie de Kondratiev. Les outils introduits pour la jonction de deux guides fermés ont été ensuite adaptés à la résolution du problème inverse. Dans un troisième temps, nous avons abordé le cas plus réaliste, mais plus complexe, d'un guide élastique partiellement immergé dans un fluide. Pour ce cas difficile, nous avons développé des outils de simulation adaptés et étendus les outils introduits précédemment pour résoudre le problème inverse.

This work is about the non destructive testing of partially buried or immersed slendered structures such as a steel cable partially buried in concrete or a steel plate partially immersed in liquid sodium. Such structures can be seen as the junction of two closed waveguides. In order to perform computing, the open part of the structure is truncated in the transverse direction with PMLs. As a result, a partially buried waveguide can be treated as the junction of two closed waveguides, in one of which the propagation of waves is governed by an equation involving complex coefficients due to the presence of the PMLs. This observation has lead us to tackle first the simpler case of the junction of two closed acoustic waveguides. For this simple case, we have proposed a strategy to solve the inverse problems based on the one hand on the introduction of the so-called reference fields, which are the total field response of the structure without defects to an incident field coming frome both half-guides, and on the other hand on the use of the reciprocity of the Green function of the structure without defect. Following this strategy, we have obtained an efficient modal formulation of the LSM which has enabled us to retrieve defects. In this simple case, we have taken advantage of the completeness of the modes to analyze the forward and inverse problems. The loss of the completeness of the modes in the half-guide truncated in the transverse direction with PMLs has led us to study the forward problem with Kondratiev theory. The tools introduced for the junction of two closed waveguides have been adapted to solve the inverse problem. Finally, we have tackled the more complex, but more realsitic case of an elastic waveguide partially immersed in a fluid. For this difficult case, we have developped adapted computing tools adapted and extended the tools introduced before solving the inverse problem.