Algorithmes pour des Problèmes de Coloration avec Promesse sur les Tournois et les Graphes

Algorithms for Promise Coloring Problems on Tournaments and Graphs

• Auteur / Autrice : Félix Klingelhoefer
• Direction : Louis Esperet, Alantha Newman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 04/12/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Sciences pour la conception, l'optimisation et la production (Grenoble, Isère, France)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equipe de recherche Optimisation combinatoire (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Zoltán Szigeti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carla Groenland, Stéphan Thomassé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Charbit, Sanjeev Khanna

Mots clés

Mots clés contrôlés

Tournois (théorie des graphes)

Mots clés libres

Complexité

Mathématiques Discrètes

Algorithmie

Graphes

Tournois

Discrete Mathematics

Algorithmics

Complexity

Graphs

Tournaments

Résumé

La première partie de cette thèse porte sur le sujet de la coloration de tournois,sous l’angle de l’algorithmie, de la complexité et de la structure. Une k-colorationd’un graphe orienté, et en particulier d’un tournoi, est une partition de ses sommetsen k ensembles acycliques. Le nombre chromatique d’un graphe orienté ou d’untournoi est alors le plus petit k tel que le graphe puisse être k-coloré. Décider siun tournoi peut être 2-coloré est déjà NP-difficile. Un problème naturel, similaire àcelui de la coloration d’un graphe 3-colorable avec peu de couleurs, est de colorer untournoi 2-colorable avec peu de couleurs. Ce problème ne semble pas avoir été abordéauparavant, bien qu’il s’agisse d’un cas particulier de la coloration d’un hypergraphe3-uniforme 2-colorable avec peu de couleurs, problème bien étudié avec des bornesinférieures super-constantes.Nous présentons un lemme de décomposition efficace pour les tournois et montrons qu’ilpeut être utilisé pour concevoir des algorithmes en temps polynomial pourcolorer différentes classes de tournois avec peu de couleurs, notamment un algorithmepour colorer un tournoi 2-colorable avec dix couleurs. Pour les classes de tournoisconsidérées, nous complétons nos bornes supérieures par des bornes inférieures renforcées, offrant ainsi une vision complète des aspects algorithmiques et de complexitéde la coloration des tournois. Nous étendons ensuite nos résultats à différentes classesde tournois et de graphes orientés.Le voisinage d’un arc uv dans un tournoi T est l’ensemble de sommets qui formentun triangle orienté avec l’arc uv. En utilisant notre lemme de décomposition,nous montrons que si le voisinage de chaque arc dans un tournoi a un nombrechromatique borné, alors tout le tournoi a un nombre chromatique borné. Ceci estégalement vrai de manière plus générale pour les graphes orientés avec un nombred’indépendance borné, et nous étendons notre preuve pour les tournois à cette classede graphes orientés denses. En tant qu’application, nous démontrons l’équivalenced’une conjecture d’El-Zahar et Erdős et d’une conjecture récente de Nguyen, Scott etSeymour concernant la structure des graphes et des tournois avec un grand nombrechromatique.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur le problème dela recherche de stables maximums dans la classe des graphes Cycle-plus-Triangles. Un grapheCycle-plus-Triangles est l’union disjointe de t triangles et d’un cycle Hamiltonien sur les 3t sommets.Il est 3-colorable, et nous présentons un aperçu desdifférentes preuves de sa 3-colorabilité. Cependant, il n’existe pas d’algorithmeefficace connu pour trouver une 3-coloration ou même pour trouver un ensemble stablemaximum (c’est-à-dire un stable de taille t).Nous présentons un algorithme aléatoire simple qui produit un ensemble stablemaximum lorsqu’il termine. Nous émettons l’hypothèse que pour toute instancede Cycle-plus-Triangles, notre algorithme s’achève en temps polynomial attendu.Dans une démarche (non fructueuse) visant à trouver des instances difficiles pournotre algorithme, nous discutons de la structure et des propriétés des instances deCycle-plus-Triangles et des méthodes pour les générer. Enfin, nous examinons lecomportement de ces algorithmes sur des problèmes connexes, tels que la 3-colorationou la recherche d’ensembles indépendants maximums dans une classe plus généralede graphes.

The first part of this thesis is on the subject of coloring tournaments, from analgorithmic, complexity and structural perspective. A k-coloring of a directed graph,and in particular a tournament, is a partition of its vertices into k acyclic sets. Thechromatic number of a directed graph or a tournament is then the minimum k suchthat it is k-colorable. Deciding if a tournament is 2-colorable is already NP-hard.A natural problem, akin to that of coloring a 3-colorable graph with few colors, isto color a 2-colorable tournament with few colors. This problem does not seem tohave been addressed before, although it is a special case of coloring a 2-colorable3-uniform hypergraph with few colors, which is a well-studied problem withsuper-constant lower bounds.We present an efficient decomposition lemma for tournaments and show that itcan be used to design polynomial-time algorithms to color various classes oftournaments with few colors, including an algorithm to color a 2-colorable tournamentwith ten colors. For the classes of tournaments considered, we complement ourupper bounds with strengthened lower bounds, painting a comprehensive picture of thealgorithmic and complexity aspects of coloring tournaments. We then extend ourresults to different classes of tournaments and digraphs.The neighborhood of an arc uv in a tournament T is the set of vertices that forma directed triangle with arc uv. By using our decomposition lemma, we show thatif the neighborhood of every arc in a tournament has bounded chromatic number,then the whole tournament has bounded chromatic number. This holds moregenerally for oriented graphs with bounded independence number, and we extend ourproof from tournaments to this class of dense digraphs. As an application, we provethe equivalence of a conjecture of El-Zahar and Erdős and a recent conjecture ofNguyen, Scott and Seymour relating the structure of graphs and tournaments withhigh chromatic number.In the second part of this thesis, we focus on the problem of finding maximumstable sets in the class of Cycle-plus-Triangles graphs. A Cycle-plus-Trianglesgraph is the disjoint union of t triangles and a Hamilton cycle on the3t vertices. It is 3-colorable, and we give an overview of the different proofs of its3-colorability. There is, however, no known efficient algorithm to find a 3-coloring oreven to find a maximum stable set (i.e., a stable set of size t).We present a simple randomized algorithm that outputs a maximum stable setupon termination. We conjecture that for any Cycle-plus-Triangles instance,our algorithm terminates in expected polynomial time. In an (unsuccessful) effort tofind hard instances for our algorithm, we discuss structure and properties ofCycle-plus-Triangles instances and methods for generating them. Finally we examinethe behavior of these algorithms on related problems, such as 3-coloring, or findingmaximum independent sets in a more general class of graphs.