Problèmes inverses en optique anidolique et équations de jacobien généré

Inverse problems in non-imaging optics and generated jacobian equations

• Auteur / Autrice : Anatole Gallouet
• Direction : Boris Thibert, Quentin Mérigot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/10/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Partial differential equation team (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Virginie Ehrlacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alfred Galichon, Julie Digne
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Young-Heon Kim, Jean-Marie Mirebeau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monge-Ampère, Équations de

Mots clés libres

Optique non imageante

Jacobien Généré

Jacobien prescrit

Algorithme de Newton amorti

Transport optimal

Generated jacobian

Nonimaging optics

Prescribed jacobians

Damped Newton Algorithm

Optimal transport

Résumé

Cette thèse traite de problèmes d'optique non-imageante. Après avoir introduit le domaine de l'optique non imageante, nous verrons comment certains problèmes peuvent s'écrire comme des problèmes de transport optimal, ou de manière plus générale comme des equations au Jacobien généré. Ce travail se divise en deux parties.La première partie traite de la stabilité des solutions aux problèmes de transport optimal sous variation des mesures, et elle est étroitement liée à la convergence des approches numériques pour résoudre les problèmes de transport optimal et justifie de nombreuses applications du transport optimal. Nous introduisons d'abord la notion de c-concavité forte et montrons qu'elle joue un rôle important pour prouver des résultats de stabilité dans le transport optimal pour des fonctions de coût générales. Nous introduisons ensuite un critère différentiel permettant de prouver qu'une fonction est fortement c-concave, sous une hypothèse sur le coût introduite initialement par Ma-Trudinger-Wang pour établir la régularité des cartes de transport optimal. Enfin, nous fournissons deux exemples où ce résultat de stabilité peut être appliqué, pour des fonctions de coût prenant une valeur infinie sur la sphère : le problème du réflecteur et le problème de prescription de mesure de courbure gaussienne.La deuxième partie traite des équations de Jacobien générées, qui ont été introduites par Trudinger [Disc. cont. dyn. sys (2014), pp. 1663-1681] comme une généralisation des équations de Monge-Ampère apparaissant dans le transport optimal. Nous présentons et étudions un algorithme de Newton amorti pour résoudre ces équations dans le cadre semi-discret, ce qui signifie que l'une des deux mesures impliquées dans le problème a un support fini et que l'autre est absolument continue. Nous présentons également une application numérique de cet algorithme au problème de réfraction parallèle en champ proche qui se pose dans les problèmes d'optique non-imaging. Enfin, nous explorons également une méthode pour approximer les équations de Jacobien générées en utilisant une régularisation entropique. Nous présentons alors un algorithme stochastique pour résoudre ce problème approché.

This thesis is motivated by non imaging optics problems. To begin with, we introduce thefield of non-imaging optics. We see that some of the problems arising in this field can berecast as optimal transport problems or more generally as generated Jacobian equations(GJE). This work is divided in two parts.The first part deals with the stability of solutions to optimal transport problems undervariation of the measures, and is closely related to the convergence of numerical approachesto solve optimal transport problems and justifies many of the applications of optimaltransport. We first introduce the notion of strong c-concavity, and we show that itplays an important role for proving stability results in optimal transport for general costfunctions. We then introduce a differential criterion for proving that a function is stronglyc-concave, under an hypothesis on the cost introduced originally by Ma-Trudinger-Wangfor establishing regularity of optimal transport maps. Finally, we provide two exampleswhere this stability result can be applied, for cost functions taking infinite value on thesphere: the reflector problem and the Gaussian curvature measure prescription problem.The second part deals with Generated Jacobian equations, that have been introducedby Trudinger [Disc. cont. dyn. sys (2014), pp. 1663–1681] as a generalization of Monge-Ampère equations arising in optimal transport. We present and study a damped Newtonalgorithm for solving these equations in the semi-discrete setting, meaning that one ofthe two measures involved in the problem is finitely supported and the other one isabsolutely continuous. We also present a numerical application of this algorithm to thenear-field parallel reflector problem arising in non-imaging problems. Finally we alsoexplore a method to approximate (GJE) using entropic regularization. We then presenta stochastic algorithm to solve this approached problem.