Quelques résultats de géométrie convexe en géométrie algébrique

Some results on convex geometry in algebraic geometry

• Auteur / Autrice : Lucie Devey
• Direction : Catriona Maclean, Alex Küronya
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/09/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes en cotutelle avec Johann-Wolfgang-Goethe-Universität (Francfort-sur-le-Main, Allemagne)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : ANR : Agence nationale de la recherche (France)
• Jury : Président / Présidente : Michel Brion
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kiumars Kaveh, Joaquim Roé, Emmanuel Peyre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Sébastien Boucksom, Gregory G. Smith

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés toriques

Polytopes

Valuations, Théorie des

Mots clés libres

Volume (diviseur)

Théorie des valuations

Géométrie torique

Classes de courbes

Newton-Okounkov bodies

Parlement de polytopes

Newton-Okounkov bodies

Valuation theory

Parlement de polytopes

Volume (divisor)

Toric geometry

Curve classes

Résumé

La thèse porte sur les objets convexes encodant de l'information géométrique. A la fin des années 1990, Okounkov associa un objet convexe DeltaY(D) à tout diviseur ample D sur une variété projective équipée d'un drapeau admissible Y. En 2008, Lazarsfeld--Mustata et Kaveh--Khovanskii ont simultanément étendu cette construction à tout diviseur gros et ont utilisé ses propriétés géométriques pour étudier les sections H0(X,kD) pour de grandes valeurs de k. Cet object est une large généralisation à toute variété projective du polytope moment sur les variétés toriques et est connu sous le nom de ''corps de Newton--Okounkov'' de D.La thèse est divisée en deux parties correspondant à deux différentes généralisations d'objects convexes bien connus.Premièrement, on étend la construction des corps de Newton--Okounkov aux courbes à la place des diviseurs. On paiera particulièrement attention à ce que le corps de Newton--Okounkov d'une courbe encode ses propriétés géométriques, comme son volume, de la même manière que les corps de Newton--Okounkov de diviseurs. On conjecture une nouvelle relation entre les corps de Newton--Okounkov et on la prove dans certains cas. Ce travail concerne les chapitres 4, 5 et 6.Notre second projet est spécifique aux variétés toriques. Sur ces variétés, tout diviseur est caractérisé par un objet convexe, son polytope moment. Dans cette thèse, on étudiera la généralisation de cette construction aux fibrés vectoriels de rang quelconque. Cet objet combinatoire, introduit par Di Rocco, Jabbusch et Smith, est appelé les parlements de polytopes. La plupart des propriétés de positivité d'un fibré en droites peuvent être détectées par son polytope moment, et similairement, les propriétés de positivité d'un fibré vectoriel peuvent être détectées par ses parlements de polytopes. Ici, on complète la théorie, notamment en donnant des conditions de stabilité des fibrés vectoriels toriques en termes de leurs parlements de polytopes. Ce travail concerne les chapitres 7 et 8.

The main subject of this thesis is convex bodies encoding geometric information. In the late 1990s Okounkov associated a convex body DeltaY(D) to any ample divisor D on a projective variety X equipped with an admissible flag Y. In 2008, Lazarsfeld--Mustata and Kaveh--Khovanskii simultaneously extended this contruction to any big divisor and and used its geometric properties to explore the sections H^0(X,O(kD)) for large values of k.This object is a vast generalisation to any projective variety of the moment polytope on toric varieties and has come to be known as the ''Newton--Okounkov body'' of D.The thesis is divided into two parts corresponding to two different generalisation of well-known convex objects.First, we extend the construction of Newton--Okounkov bodies to curves instead of divisors. We will be paying particular attention to ensuring that the Newton--Okounkov body of a curve encodes geometrical properties, such as the volume, of the curve in the same way as Newton--Okounkov bodies of divisors. We conjecture new relations between Newton--Okounkov bodies and prove them in some interesting special cases. This work is contained in Chapters 4, 5 and 6.Our second project is specific to toric varieties. On such varieties, any divisor is characterized by a convex body, its moment polytope. In this thesis, we study the generalization of this construction to vector bundles of arbitrary rank. This combinatorial object which was introduced by Di Rocco, Jabbusch and Smith, is called the parliaments of polytopes. Most positivity properties of a toric line bundle can be detected combinatorially on its moment polytope, and similarly, many positivity properties of a toric vector bundle can be detected combinatorially from its parliament of polytopes. In the second part of this thesis, we enhance this theory, notably by giving conditions for stability of toric vector bundles in terms of their parliament of polytopes. This work is contained in Chapters 7 and 8.