Cohomologie des algèbres de Fomin-Kirillov

Cohomology of Fomin-Kirillov algebras

• Auteur / Autrice : Ziling Li
• Direction : Estanislao Herscovich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/09/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Jean Fasel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Amiot, Eduardo Marcos, Mariano Suárez-Álvarez
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Guodong Zhou, Maria Julia Redondo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Cohomologie

Mots clés libres

Algèbre de Fomin-Kirillov

Cohomologie de Hochschild

Crochet de Gerstenhaber

Fomin-Kirillov algebra

Hochschild cohomology

Gerstenhaber bracket

Résumé

Après avoir rappelé les notions fondamentales en théorie des algèbres quadratiques, la homologie et cohomologie de Hochschild des algèbres associatives, les bases de Gröbner pour les algèbres non commutatives, et les algèbres de Fomin-Kirillov operatorname{FK}(n) sur un corps pour ngeqslant 2, on calcule la (co)homologie de Hochschild de l'algèbre de Fomin-Kirillov operatorname{FK}(3) à trois générateurssur un corps de caractéristique différente de 2 et 3, et l'homologie cyclique de operatorname{FK}(3) dans le cas d'un corps de caractéristique nulle.De plus, nous calculons la structure algébrique et de Gerstenhabersur la cohomologie de Hochschild de operatorname{FK}(3) pour un corps de caractéristique différentede 2 et 3.Le calcul de la structure de Gerstenhaber est en partie basée sur une méthode générale que nous introduisons pour calculer facilementla parenthèse de Gerstenhaber entre les éléments de HH^{0}(A) et les éléments de HH^{n}(A) pour tout n in NN_{0} et toute algèbre A sur un corps, la méthode par M. Suárez-Álvarez dans cite{Mariano} pour calculer la parenthèse de Gerstenhaber entre les éléments de HH^{1}(A) et les éléments de HH^{n}(A), ainsi qu'une résultat qui permet de calculer les cas restantes à partir des précédentes.Nous montrons aussi que le crochet de Gerstenhaber de la cohomologie de Hochschild de operatorname{FK}(3) sur un corps de caractéristiquedifférent de 2 et 3 n'est induit par aucun générateur de Batalin-Vilkovisky.

After recalling the basics in quadratic algebras, Hochschild (co)homology, Gröbner bases for noncommutative algebras, and Fomin-Kirillov algebras operatorname{FK}(n) over a field for ngeqslant 2, we compute the Hochschild (co)homology of the Fomin-Kirillov algebra operatorname{FK}(3) on three generators over a field of characteristic different from 2 and 3, and the cyclic homology of operatorname{FK}(3) in case the characteristic of the field is zero.Moreover, we compute the algebra structure and Gerstenhaber bracket of the Hochschild cohomology of operatorname{FK}(3) over a field of characteristic different from 2 and 3.The latter is in part based on a general method we introduce to easily compute the Gerstenhaber bracket between elements of HH^{0}(A) and elements of HH^{n}(A), the method by M. Suárez-Álvarez in cite{Mariano} to calculate the Gerstenhaber bracket between elements of HH^{1}(A) and elements of HH^{n}(A) for any n in NN_{0} and any algebra A over a field, as well as an elementary result that allows computing the remaining brackets from the previous ones.We also show that the Gerstenhaber bracket of the Hochschild cohomology of operatorname{FK}(3) over a field of characteristic different from 2 and 3 is not induced by any Batalin-Vilkovisky generator.