Contrôle et stabilisation d'EDP sur des réseaux

Control and stabilization of PDE on networks

• Auteur / Autrice : Hugo Parada
• Direction : Emmanuelle Crepeau-Jaisson, Christophe Prieur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/07/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Partial differential equation team (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Witrant
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hoai-Minh Nguyen, Julie Valein, Eduardo Cerpa
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bing-Yu Zhang, Franck Boyer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Korteweg-de Vries, Équation de

Mots clés libres

Contrôlabilité

Stabilisation

Feedback retardés

Équations aux dérivées partielles

Saturation

Controllability

Stabilization

Partial differential equations

Delayed feedback

Saturation

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de stabilisation de l'équation de Korteweg-de Vries dans un domaine borné et dans une structure de réseau étoilée. Plus spécifiquement, l'objectif de cette thèse est d'analyser les cas où les termes de feedback incluent du retard et de la saturation. Dans le Chapitre 2, nous traitons la stabilisation interne de l'équation non linéaire de KdV posée sur un réseau étoilé lorsque les termes de feedback incluent des retards. À l'aide de techniques de Lyapunov et d'une inégalité d'observabilité, nous avons réussi à montrer la stabilité exponentielle du système. Dans le Chapitre 3, nous étudions la stabilisation interne saturée de l'équation de KdV sur un réseau étoilé. Dans ce cas, nous montrons d'abord un résultat de well-posedness global en utilisant un système linéaire approprié et la propriété de régularisation de Kato. Puis via un argument de contradiction et une inégalité d'observabilité, nous montrons la stabilité exponentielle. Dans le Chapitre 4, l'analyse de la stabilité de l'équation de KdV sur un domaine borné en présence de saturation à la frontière est étudiée. En utilisant la théorie des semigroupes non linéaires et des arguments de points fixes, nous montrons que l'équation est bien posée. La stabilité exponentielle est prouvée en utilisant des idées de compacité pour obtenir une inégalité d'observabilité. Dans le Chapitre 5, nous considérons l'analyse de la stabilité de l'équation de KdV sur un domaine borné avec un retard dépendant du temps dans le feedback frontière ou interne. Nous étudions le well-posedness à l'aide de la théorie des semigroupes qui dépendent du temps. La stabilité exponentielle est dérivée en utilisant la théorie de Lyapunov. Finalement, le Chapitre 6 présente quelques commentaires et des possibles pistes de recherche futures.

In this thesis, we study stabilization problems for the Korteweg-de Vries equation in a bounded domain and in a star-shaped network structure. More specifically, the focus of this thesis is to analyze the cases where the feedback terms include delay and saturation. In Chapter 2, we deal with the internal stabilization of the nonlinear KdV equation posed on a star-shaped network when the feedback terms involve time delay. Using Lyapunov techniques and an appropriated observability inequality, we managed to show the exponential stability of the associated system. In Chapter 3, we study the saturated internal stabilization of the KdV equation on a star-shaped network. In this case, we show first a global well-posedness result by using an appropriated linear system and the Kato smoothing property. Then via a contradiction argument and an observability inequality we show the exponential stability. In Chapter 4, the stability analysis of the KdV equation on a bounded domain in presence of boundary saturation is studied. Using nonlinear semigroup theory and fixed point arguments, we show the well-posedness. The exponential stability is proved by using compactness ideas to get an observability inequality. In Chapter 5, we consider the stability analysis of the KdV equation on a bounded domain with time-dependent delay on the boundary or internal feedbacks. We study the well-posedness using time-varying semigroup theory, and the exponential stability is derived by using Lyapunov theory. Finally, in Chapter 6 some comments and future research problems are addressed.