Phénomènes de stabilisation dans des espaces de modules de courbes

Stabilisation phenomena in moduli spaces of curves

• Auteur / Autrice : Loïs Faisant
• Direction : Emmanuel Peyre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/07/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Debarre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Bourqui, Margaret Bilu, Jean Fasel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Chambert-Loir, Timothy Daniel Browning

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fano, Variétés de

Espaces de modules

Morphismes (mathématiques)

Mots clés libres

Variétés de Fano

Espaces de modules

Courbes rationnelles

Moduli spaces

Fano varieties

Rational curves

Résumé

Dans cette thèse, on étudie l'espace de modules des morphismes d'une courbe projective lisse géométriquement irréductible vers une variété de Fano, ou plus généralement, l'espace de modules des sections d'une famille dont la fibre générique est Fano, ou proche de l'être.En se plaçant dans un anneau d'intégration motivique, on décrit le comportement attendu de la classe des espaces de modules des sections très libres de grand degré par rapport à tout fibré en droites effectif. Une telle prédiction peut être vue comme des analogues motiviques du principe de Batyrev-Manin-Peyre en géométrique arithmétique. Dans cette analogie, le rôle de la hauteur d'un point rationnel est joué par le degré d'une section. Notamment, on définit les versions motiviques de la constante de Peyreet du principe d'équidistribution.On démontre ensuite la validité de ces prédictions pour les exemples suivants: compactifications équivariantes d'espaces vectoriels en caractéristique nulle, variétés toriques déployées projectives, ainsi que certains produits tordus en variétés toriques. Dans le premier cas, on démontre de plus une variante pour les courbes dites de Campana.

In this thesis, we study the moduli space of morphisms from a smooth, projective and geometrically irreducible curve to a smooth Fano variety, or more generally, the moduli space of sections of a family whose generic fibre is Fano (or close to being Fano).Working in a ring of motivic integration, we describe the expected behavior of the class of the moduli space of very free morphisms having high degree with respect to every effective line bundle. One can understand this prediction as being a motivic analogue of the Batyrev-Manin-Peyre principle in arithmetic geometry. In our setting, the degree of a morphism plays the role of the height of a rational point. In particular, we define the motivic versions of Peyre's constant and of the equidistribution principle.We show that this principle holds for equivariant compactifications of vector spaces in characteristic zero, for smooth split projective toric varieties, as well as for a certain kind of twisted toric products. Additionally, for the first example we also consider Campana curves.