Estimation de probabilité de défaillance et de sa sensibilité locale dans un espace elliptique standard de grande dimension

Estimation of failure probability and its local sensitivity in a high-dimensional standard elliptical space

• Auteur / Autrice : Marie Chiron
• Direction : Jérôme Morio, Michel Salaün
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 04/07/2023
• Etablissement(s) : Toulouse, ISAE
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Équipe d'accueil doctoral Modélisation et ingénierie des systèmes (Toulouse, Haute-Garonne)
• Jury : Président / Présidente : Josselin Garnier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Morio, Michel Salaün, Céline Helbert, Carsten Proppe, Cécile Mattrand, Guillaume Perrin, Sylvain Dubreuil
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Céline Helbert, Carsten Proppe

Mots clés

Mots clés contrôlés

Loi multinomiale

Probabilités

Échantillonnage (statistique)

Mots clés libres

Échantillonnage préférentiel

Probabilité de défaillance

Sensibilité locale de probabilité

Loi standard elliptique

Régions de défaillance multiples

Système de grande dimension

Importance sampling

Failure probability

Failure probability sensitivity

Standard elliptical law

Multiple failure regions

High-Dimensional system

Résumé

Dans de nombreuses disciplines scientifiques, un système complexe est souvent modélisé avec une fonction M, supposée simuler le comportement du système. La sortie de cette fonction est la réponse observée tandis que les entrées représentent les différentes variables qui influencent le comportement du système. Le système étant soumis à des aléas, certaines de ses entrées sont des variables aléatoires. Ainsi, la sortie de la fonction est également aléatoire. La défaillance du système correspond à une réponse extrême de la fonction, dont les conséquences sont critiques. Dans un contexte où la fonction M agit comme une boîte noire, le calcul de la probabilité de défaillance et de sa sensibilité locale est crucial pour l'analyse de fiabilité du système. L'estimation de la probabilité de défaillance et de sa sensibilité locale est particulièrement difficile pour des systèmes de grande dimension, dont le domaine de défaillance des entrées possède plusieurs régions de défaillance. Les entrées aléatoires sont modélisées ici avec des distributions elliptiques standards, comme la loi normale standard par exemple. Le comportement de telles distributions en grande dimension doit être pris en compte dans le processus d'estimation. Dans la littérature, de nombreux algorithmes d'échantillonnage préférentiel (EP) ont été spécifiquement adaptés à l'estimation de la probabilité de défaillance de systèmes possédant plusieurs régions de défaillance dans l'espace standard normal de grande dimension. Le but de l'EP est de construire une densité auxiliaire qui génère plus d'observations dans le domaine de défaillance que la densité de probabilité initiale des entrées aléatoires. Afin de prendre en compte la multiplicité des régions de défaillance, la densité auxiliaire est alors construite comme un mélange de densités. Cependant, le nombre de densités dans le mélange, correspondant au nombre de régions de défaillance, doit être fixé a priori et est difficile à paramétrer dans un contexte de boîte noire. De plus, dans l'espace standard elliptique, la sensibilité locale de la probabilité par rapport à une entrée déterministe s'écrit nécessairement comme une intégrale surfacique, dont l'estimation est laborieuse. En conséquence, ces sensibilités sont souvent approchées par un estimateur biaisé plus facile à obtenir, mais dont le biais est difficilement évaluable. Le but de cette thèse est alors d'améliorer l'estimation de la probabilité de défaillance et de sa sensibilité locale dans un tel contexte. L'algorithme proposé pour estimer la probabilité de défaillance repose sur une recherche progressive des régions de défaillance dans l'espace standard elliptique. Pour chaque région de défaillance identifiée, une densité auxiliaire est construite et optimisée de manière adaptative. Cette densité prend en compte le comportement des entrées en grande dimension puisque sa construction bénéficie de leur représentation stochastique. La probabilité de défaillance finale est estimée avec un échantillonnage préférentiel multiple, en utilisant toutes les densités auxiliaires précédemment construites. L'approche proposée pour estimer la sensibilité de la probabilité par rapport aux entrées déterministes repose sur une régression polynomiale hétéroscédastique. En effet, la sensibilité locale est identifiée comme le terme d'ordre zéro d'un développement de Taylor. En utilisant les méthodes de simulation pour construire la base de données de la régression, un nouvel estimateur de la sensibilité locale est ainsi obtenu. Cet estimateur est biaisé mais son biais est contrôlable grâce aux paramètres de régression : le degré du polynôme ainsi que l'intervalle de régression. Les deux algorithmes sont mis en pratique indépendamment avec différentes applications pour démontrer leur robustesse. Une étude de la fiabilité d'un oscillateur de Duffing permet de tester la combinaison des deux algorithmes pour un système de grande dimension possédant plusieurs régions de défaillance.

In several scientific disciplines, a complex system is typically modeled with a function M, expected to simulate the behavior of the system. The output of this function is the observed response while the inputs represent the different variables that have an influence over the behavior of the system. As the system is subject to uncertainty, some of the inputs are random variables. Hence, the output of the function is random as well. The failure of the system corresponds to an extreme response of the function which can have severe consequences. In a context where the function M is seen as a black-box function, computing the probability of failure of the system, as well as its local sensitivity is crucial for reliability analysis. The estimation of the failure probability and its local sensitivity is particularly difficult for high-dimensional systems, whose input failure domain encompasses possibly several failure regions. Assuming the random inputs can be modeled with standard elliptical variables, the behavior of such distributions in high-dimensional spaces must be taken into account in the estimation process. In the literature, several Importance Sampling (IS) algorithms have been specifically tailored to estimate the failure probability of systems with several failure regions in the high-dimensional standard normal space, a commonly used elliptical space. The goal of IS is to build an auxiliary density which generates more observations in the failure domain than the original probability density function of the random inputs. In order to take into account the multiple failure regions, the auxiliary density is then built as a mixture of densities. However, the number of densities in the mixture, corresponding to the number of failure regions, has to be set a priori and is arduous to derive in a black-box context. Furthermore, in the standard elliptical space, the sensitivity of the failure probability with respect to a deterministic input is necessarily written as a surface integral, which is burdensome to estimate. Consequently, the local sensitivity is usually approximated with a biased estimate easier to obtain, whose bias is then difficult to examine. The goal of this thesis is to improve the estimation of both the failure probability and its local sensitivity in such a context. The algorithm proposed to estimate the failure probability relies on a gradual search for the failure regions in the standard elliptical space. For each identified failure region, an auxiliary density is built and adaptively optimized. This density takes into account the behavior of the random inputs in the high-dimensional space as their stochastic representation is taken advantage of. The final failure probability is then estimated with a multiple important sampling scheme, using every auxiliary density previously built. The approach proposed to estimate the failure probability sensitivity with respect to the deterministic inputs relies on a heteroscedastic polynomial regression. Indeed, the local sensitivity is identified as the term of order zero of a Taylor series expansion. Using simulation methods to build the regression database, a new sensitivity estimate is obtained. This estimate is biased, but its bias can be controlled thanks to the parameters of the regression: the polynomial degree and the regression interval. Both algorithms are applied to various applications to test their robustness independently. A study on the reliability of a Duffing oscillator allows to test the combination of both algorithms, for a high-dimensional system with several failure regions.