Certificats algébriques pour des problèmes de graphes

Algebraic certificates for graph problems

• Auteur / Autrice : Rémi Pellerin
• Direction : Stéphan Thomassé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 11/12/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....) - Modèles de calcul, Complexité, Combinatoire
• Jury : Président / Présidente : Pascal Koiran
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphan Thomassé, Pascal Koiran, Frédéric Havet, Patrice Ossona de Mendez, Alantha Newman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Havet, Patrice Ossona de Mendez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Analyse de

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Théorème des zéros de Hilbert

Coloration de graphes

Certificats algébriques

Analyse de Fourier

Algèbre linéaire et corps finis

Graph theory

Hilbert's Nullstellensatz theorem

Graph coloring

Algebraic certificates

Fourier analysis

Linear algebra and finite fields

Résumé

Cette thèse s’intéresse à certains liens étroits qui existent entre combinatoire et algèbre. Plus spécifiquement, nous proposons de nouvelles façons d’aborder des problèmes de combinatoire sur les graphes dans la logique des travaux de De Loera. Etant donné un entier k ≥ 3 et un graphe G, la question de savoir si G admet une k-coloration, c’est-à-dire un étiquetage des sommets avec des entiers compris entre 1 et k (appelés “couleurs”)tels que deux sommets adjacents n’ont pas la même couleur, constitue un problème difficile engénéral (Sans indication sur G, le problème est NP-Complet.). A l’inverse, comment peut-on prouversimplement qu’un certain graphe G n’admet aucune k-coloration (c’est-à-dire que χ(G), le nombreminimal de couleurs tel qu’il existe une χ(G)-coloration de G vérifie χ(G) > k) ? Une telle preuve, si elle existe, est appelée certificat de non k-colorabilité. La recherche d’un certificat “canonique”, en ce sens qu’il aurait la même “forme” quel que soit le graphe, constitue le point de départ de cette thèse. Nullstellensatz et graphes puissance : La première contribution importante de cette thèse est la définition d’une extension naturelle de G, notée p^G avec p un nombre premier, dans laquelle un certificat Nullstellensatz de non p-colorabilité pour G admet une interprétation combinatoire en termes de cliques. Ce graphe a de nombreuses bonnes propriétés, notamment :i) G ⊆ p^Gii) χ(G) = p ⇔ χ(p^G ) = p. Peut-on généraliser ce résultat au cas d’un nombre non premier de couleurs ? Lorsque k = p^ℓavec p premier et ℓ ≥ 2, il existe un unique corps fini (à isomorphisme près) à k éléments noté F_k. Cela nous permet de définir de façon similaire un graphe {F_k}^G et on retrouve les mêmes propriétés. Dans le cas où le nombre de couleurs est une puissance non triviale d’un nombre premier (k = p^ℓavec ℓ ≥ 2), on dispose de deux objets : {Z_k}^G et {F_k}^G . Ces graphes sont-ils isomorphes ? Nous montrons que la réponse est non en général. Ces graphes puissance (“power graphs”) ont de nombreuses autres bonnes propriétés que nous avons étudiées durant cette thèse. Fourier : La recherche de certificats Nullstellensatz dans les graphes puissance nous a conduit à l’étude des transformées de Fourier discrètes. Il existe en effet un lien étroit entre les deux concepts. Cela nous a conduit à l’élaboration d’une méthode originale de preuve de k-colorabilité. Le principe de cette preuve s’applique particulièrement bien aux graphes dont les arêtes se décomposent naturellement en deux sous-graphes sur le même ensemble de sommets. Par exemple, nous avons pu donner une nouvelle preuve de la “cycle + triangle” conjecture d’Erdös, démontrée pour la première fois par Fleischner et Steibitz en 1992.

How would you prove some colorability result using Hilbert’s Nullstellensatz theorem and Fourier analysis ? Many combinatorial problems can be encoded with polynomials with some imagination. For instance, given a graph G and an integer k ≥ 2, we can define a set of multivariate polynomials that have a common root if and only if χ(G) ≤ k. The Nullstellensatz theorem provide a characterizationfor the existence of such a common root (which is actually a proper k-coloring of G). The thing is this Nullstellensatz certificate is an algebraic object and we would prefer a combinatorial one. We designed a new construction on graphs, some exponentiation : from G define Γ^G whereΓ can be any Abelian group. Such power graphs, have many nice properties. One of them is the interpretation of a Nullstellensatz certificate for G as a special set of cliques in Γ^G . Hence, under some technical hypothesis, the k-colorability of G can be characterized by the existence of this special set of cliques in Γ^G . Another nice property of these power graphs is their connection to discrete Fourier analysis. We did create a new proof scheme to show colorability results using the fact that a “certain scalar product in a certain Fourier basis” related to G is non zero. Thanks to this prof scheme, we have found a new short proof of the Erdös conjecture on cycle plus triangles : A graph made of a hamiltonian cycle and an edge disjoint set of triangles is 3-colorable.